电动力学第2周作业

Chasse_neige

本作业所有求和默认采用爱因斯坦求和约定。

1. 矢量分析

(a)

$ϵ_{i j k}$ 满足:

\sum_{k = 1}^{3} ϵ_{i j k} ϵ_{l m k} = δ_{i l} δ_{j m} - δ_{i m} δ_{j l}

证明：

先除去所有 $ϵ_{i j k} ϵ_{l m k} = 0$ 的情况，仅考虑 $i, j, k 和 l, m, k$ 互不相同的时侯。此时仅存在两种情况， $i = l$ 且 $j = m$ 和 $i = m 且 j = l$ 。显然，当 $i = l$ 且 $j = m$ 时， $ϵ_{i j k} = ϵ_{l m k}$ ；当 $i = m 且 j = l$ 时， $ϵ_{i j k} = - ϵ_{l m k}$ 。所以 $ϵ_{i j k} ϵ_{l m k} = δ_{i l} δ_{j m} - δ_{i m} δ_{j l}$ ，因为求和时仅有一个 $k$ 满足 $i, j, k 和 l, m, k$ 互不相同的条件。

(b)

用 $δ_{i j}$ 和 $ϵ_{i j k}$ 证明，

\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}

证明：

\begin{matrix} \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = ϵ_{l k m} ϵ_{i j k} a_{l} b_{i} c_{j} \vec{e_{m}} = ϵ_{m l k} ϵ_{i j k} a_{l} b_{i} c_{j} \vec{e_{m}} \\ = (δ_{m i} δ_{l j} - δ_{m j} δ_{l i}) a_{l} b_{i} c_{j} \vec{e_{m}} = a_{j} b_{i} c_{j} \vec{e_{i}} - a_{i} b_{i} c_{j} \vec{e_{m}} = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} \end{matrix}

(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{c} \times \vec{d}) = [\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{d})] \vec{c} - [\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})] \vec{d} = [\vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{d})] \vec{b} - [\vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{d})] \vec{a}

证明：

\begin{matrix} (\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{c} \times \vec{d}) = (ϵ_{i j k} a_{i} b_{j} \vec{e_{k}}) \times (ϵ_{l m n} c_{l} d_{m} \vec{e_{n}}) \\ = ϵ_{k n s} ϵ_{i j k} ϵ_{l m n} a_{i} b_{j} c_{l} d_{m} \vec{e_{s}} = ϵ_{i j k} (δ_{s l} δ_{k m} - δ_{s m} δ_{k l}) a_{i} b_{j} c_{l} d_{m} \vec{e_{s}} \\ = ϵ_{i j k} (a_{i} b_{j} c_{l} d_{k} \vec{e_{l}} - a_{i} b_{j} c_{k} d_{m} \vec{e_{m}}) = [\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{d})] \vec{c} - [\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})] \vec{d} \\ ϵ_{k n s} ϵ_{i j k} ϵ_{l m n} a_{i} b_{j} c_{l} d_{m} \vec{e_{s}} = (δ_{n i} δ_{s j} - δ_{n j} δ_{s i}) ϵ_{l m n} a_{i} b_{j} c_{l} d_{m} \vec{e_{s}} \\ = ϵ_{l m n} (a_{n} b_{s} c_{l} d_{m} \vec{e_{s}} - a_{s} b_{n} c_{l} d_{m} \vec{e_{s}}) = [\vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{d})] \vec{b} - [\vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{d})] \vec{a} \end{matrix}

(c) 思考选做题

试证明

i. 一阶张量除零矢量外，都不是各向同性的

证明：矢量 $\vec{A} = (\begin{matrix} A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n} \end{matrix})$ 各向同性意味着对所有方向的单位矢量而言， $\vec{A}$ 在它们上的投影值相同。

\vec{A} \cdot \hat{e} = | \vec{A} | \cos < \vec{A}, \hat{e} >= c o n s t

∴ | \vec{A} | = 0

ii. 二阶张量中的各向同性的张量必为 $λ δ_{i j}$

证明：设二阶张量 $T_{i j}$ 满足 $Q_{k i} Q_{l j} T_{i j} = T_{k l}$ 对所有正交阵 $Q$ 均成立。取 $Q$ 为绕 $z$ 轴的旋转阵，代入条件可得：

(\begin{matrix} \cos θ & \sin θ \\ - \sin θ & \cos θ \end{matrix}) (\begin{matrix} T_{11} & T_{12} \\ T_{21} & T_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}) = (\begin{matrix} T_{11} & T_{12} \\ T_{21} & T_{22} \end{matrix})

∴ {\begin{cases} T_{11} = T_{12} \\ T_{22} = T_{21} = 0 \end{cases}

同理，可以得到

{\begin{cases} T_{11} = T_{33} \\ T_{13} = T_{31} = 0 \\ T_{22} = T_{33} \\ T_{23} = T_{32} = 0 \end{cases}

即 $T_{i j} = λ δ_{i j}$

iii. 三阶张量中的各向同性的张量必为 $λ ϵ_{i j k}$

证明：此时用上面的方法去凑变换消去自由度太繁琐，尝试再换一种方法：

考虑坐标架的一个无穷小转动 $δ \vec{θ}$ 则任意三阶张量在转动后可以表达为：

T_{i j k}^{^{'}} = T_{i j k} + δ θ_{l} (ϵ_{l i m} T_{m j k} + ϵ_{l j m} T_{i m k} + ϵ_{l k m} T_{i j m})

要求转动前后分量相等，所以

ϵ_{l i m} T_{m j k} + ϵ_{l j m} T_{i m k} + ϵ_{l k m} T_{i j m} = 0

假设 $T$ 是完全反对称的，即满足：

T_{i j k} = A ϵ_{i j k},

将 $T_{i j k} = A ϵ_{i j k}$ 代入原方程：

ϵ_{l i m} (A ϵ_{m j k}) + ϵ_{l j m} (A ϵ_{i m k}) + ϵ_{l k m} (A ϵ_{i j m}) = 0.

提取常数 $A$ ：

A (ϵ_{l i m} ϵ_{m j k} + ϵ_{l j m} ϵ_{i m k} + ϵ_{l k m} ϵ_{i j m}) = 0.

将三项相加：

\begin{aligned} (δ_{l j} δ_{i k} - δ_{l k} δ_{i j}) \\ + & (- δ_{l i} δ_{j k} + δ_{l k} δ_{i j}) \\ + & (δ_{l i} δ_{k j} - δ_{l j} δ_{k i}) \\ = & δ_{l j} δ_{i k} - δ_{l k} δ_{i j} - δ_{l i} δ_{j k} + δ_{l k} δ_{i j} + δ_{l i} δ_{k j} - δ_{l j} δ_{k i} = 0 \end{aligned}

对于非完全反对称的一般 $T$ ，对其做对称反对称分解，其中的对称部分设为 $S_{i j k}$

带入：

ϵ_{l i m} S_{m j k} + ϵ_{l j m} S_{i m k} + ϵ_{l k m} S_{i j m} = 0

ϵ_{l n m} (ϵ_{l i m} S_{m j k} + ϵ_{l j m} S_{i m k} + ϵ_{l k m} S_{i j m}) = 0

2 (δ_{n i} S_{m j k} + δ_{n j} S_{i m k} + δ_{n k} S_{i j m}) = 0

当 $n = i$ 时：

δ_{n i} S_{m j k} + δ_{n j} S_{i m k} + δ_{n k} S_{i j m} = S_{m j k} + δ_{i j} S_{i m k} + δ_{i k} S_{i j m} = S_{m j k} + S_{j m k} + S_{k j m} = 3 S_{m j k}

当 $n = j$ 和 $n = k$ 时同理。

∴ δ_{n i} S_{m j k} + δ_{n j} S_{i m k} + δ_{n k} S_{i j m} = 3 (S_{m j k} + S_{i m k} + S_{i j m}) = 0

S_{i j k} = 0

即不能存在对称分量。

iv. 四阶张量中的各向同性的张量必为 $λ δ_{i j} δ_{k l} + α δ_{i k} δ_{j l} + β δ_{i l} δ_{j k}$

对于四阶各向同性张量，推广形式为：

$ϵ_{m i s} a_{s j k l} + ϵ_{m j s} a_{i s k l} + ϵ_{m k s} a_{i j s l} + ϵ_{m l s} a_{i j k s} = 0$

分别乘以 $ϵ_{m i t}$ 、 $ϵ_{m j t}$ 、 $ϵ_{m k t}$ 和 $ϵ_{m l t}$ ，并令 $t = i$ 、 $t = j$ 、 $t = k$ 和 $t = l$ ，得到：

$2 a_{i j k l} + a_{j i k l} + a_{k j i l} + a_{l j k i} = a_{s s k l} δ_{i j} + a_{s j s l} δ_{i k} + a_{s j k s} δ_{i l}$ $2 a_{i j k l} + a_{j i k l} + a_{i k j l} + a_{i l j k} = a_{s s k l} δ_{i j} + a_{i s k s} δ_{j l} + a_{i s s l} δ_{j k}$ $2 a_{i j k l} + a_{k j i l} + a_{i k j l} + a_{i j l k} = a_{i j s s} δ_{k l} + a_{s j s l} δ_{i k} + a_{i s s l} δ_{j k}$ $2 a_{i j k l} + a_{l j k i} + a_{i l k j} + a_{i j l k} = a_{i j s s} δ_{k l} + a_{i s k s} δ_{j l} + a_{s j k s} δ_{i l}$

由于 $a_{s s k l}$ 、 $a_{s j s l}$ 和 $a_{s j k s}$ 是二阶各向同性张量，我们有：

$a_{s s k l} = λ δ_{k l}$ $a_{s j s l} = μ δ_{j l}$ $a_{s j k s} = ν δ_{j k}$

因此，

$a_{i j k l} = α δ_{i j} δ_{k l} + β δ_{i k} δ_{j l} + γ δ_{i l} δ_{j k}$

其中：

$α = \frac{4 λ - μ - ν}{10}$ $β = \frac{4 μ - ν - λ}{10}$ $γ = \frac{4 ν - λ - μ}{10}$

2. 场论

1.1

根据算符∇的微分性与矢量性，推导下列公式：

\nabla (A \cdot B) = B \times (\nabla \times A) + (B \cdot \nabla) A + A \times (\nabla \times B) + (A \cdot \nabla) B

A \times (\nabla \times A) = \frac{1}{2} \nabla A^{2} - (A \cdot \nabla) A

证明：第一个式子从右推左

B \times (\nabla \times A) + A \times (\nabla \times B) = \nabla_{A} (A \cdot B) + \nabla_{B} (A \cdot B) - (B \cdot \nabla) A - (A \cdot \nabla) B

其中 $\nabla$ 的下标表示仅对该分量做微分。

\begin{matrix} ∴ B \times (\nabla \times A) + (B \cdot \nabla) A + A \times (\nabla \times B) + (A \cdot \nabla) B \\ = \nabla_{A} (A \cdot B) + \nabla_{B} (A \cdot B) - (B \cdot \nabla) A - (A \cdot \nabla) B + (B \cdot \nabla) A + (A \cdot \nabla) B \\ = \nabla_{A} (A \cdot B) + \nabla_{B} (A \cdot B) = \nabla (A \cdot B) \end{matrix}

第二个式子从左推右，为了区分，给两个A加上下标，但是它们本质上是一样的。

A_{1} \times (\nabla \times A_{2}) = \nabla_{A_{2}} (A_{1} \cdot A_{2}) - (A_{1} \cdot \nabla) A_{2}

∵ \nabla_{A_{2}} (A_{1} \cdot A_{2}) = \nabla_{A_{1}} (A_{1} \cdot A_{2})

∴ \nabla_{A_{2}} (A_{1} \cdot A_{2}) = \frac{1}{2} (\nabla_{A_{1}} (A_{1} \cdot A_{2}) + \nabla_{A_{2}} (A_{1} \cdot A_{2})) = \frac{1}{2} \nabla A^{2}

∴ A \times (\nabla \times A) = \frac{1}{2} \nabla A^{2} - (A \cdot \nabla) A

1.3

设 $r = \sqrt{(x - x^{'})^{2} + (y - y^{'})^{2} + (z - z^{'})^{2}}$ 为源点 $x^{'}$ 到场点 $x$ 的距离， $r$ 的方向规定为从源点指向场点。

(1) 证明下列结果，并体会对源变数求微商 $(\nabla^{'} = e_{x} \frac{\partial}{\partial x^{'}} + e_{y} \frac{\partial}{\partial y^{'}} + e_{z} \frac{\partial}{\partial z^{'}})$ 与对场变数求微商 $(\nabla = e_{x} \frac{\partial}{\partial x} + e_{y} \frac{\partial}{\partial y} + e_{z} \frac{\partial}{\partial z})$ 的关系：

\begin{matrix} \nabla r = - \nabla^{'} r = \frac{r}{r} \\ \nabla \frac{1}{r} = - \nabla^{'} \frac{1}{r} = - \frac{r}{r^{3}} \\ \nabla \times \frac{r}{r^{3}} = 0 \\ \nabla \cdot \frac{r}{r^{3}} = - \nabla^{'} \cdot \frac{r}{r^{3}} = 0 (r \neq 0) \end{matrix}

（最后一式在 $r = 0$ 点不成立，见第二章 §5）。

证明：将 $r$ 表示为直角坐标下的分量式 $\vec{r} = (x - x^{^{'}}) \vec{e_{x}} + (y - y^{^{'}}) \vec{e_{y}} + (z - z^{^{'}}) \vec{e_{z}}$ 和 $r = \sqrt{(x - x^{'})^{2} + (y - y^{'})^{2} + (z - z^{'})^{2}}$

\nabla r = \partial_{i} \sqrt{(x_{i} - x_{i}^{^{'}})^{2}} \vec{e_{i}} = \frac{(x_{i} - x_{i}^{^{'}}) \vec{e_{i}}}{\sqrt{(x_{i} - x_{i}^{^{'}})^{2}}} = \frac{\vec{r}}{r}

\nabla^{^{'}} r = \partial_{i}^{^{'}} \sqrt{(x_{i} - x_{i}^{^{'}})^{2}} \vec{e_{i}} = - \frac{(x_{i} - x_{i}^{^{'}}) \vec{e_{i}}}{\sqrt{(x_{i} - x_{i}^{^{'}})^{2}}} = - \frac{\vec{r}}{r}

\nabla \frac{1}{r} = \partial_{i} \frac{1}{\sqrt{(x_{i} - x_{i}^{^{'}})^{2}}} \vec{e_{i}} = - \frac{(x_{i} - x_{i}^{^{'}}) \vec{e_{i}}}{{\sqrt{(x_{i} - x_{i}^{^{'}})^{2}}}^{3}} = - \frac{\vec{r}}{r^{3}}

\nabla^{^{'}} \frac{1}{r} = \partial_{i}^{^{'}} \frac{1}{\sqrt{(x_{i} - x_{i}^{^{'}})^{2}}} \vec{e_{i}} = \frac{(x_{i} - x_{i}^{^{'}}) \vec{e_{i}}}{{\sqrt{(x_{i} - x_{i}^{^{'}})^{2}}}^{3}} = \frac{\vec{r}}{r^{3}}

\nabla \times \frac{\vec{r}}{r^{3}} = - \nabla \times (\nabla \frac{1}{r}) = 0

\nabla \cdot \frac{\vec{r}}{r^{3}} = - \nabla^{'} \cdot \frac{\vec{r}}{r^{3}} = \frac{3}{r^{3}} - 3 \frac{\vec{r}}{r^{5}} \cdot \vec{r} = 0 (r \neq 0)

(2) 求 $\nabla \cdot r$ ， $\nabla \times r$ ， $(a \cdot \nabla) r$ ， $\nabla (a \cdot r)$ ， $\nabla \cdot [E_{0} \sin (k \cdot r)]$ 及 $\nabla \times [E_{0} \sin (k \cdot r)]$ ，其中 $a$ 、 $k$ 及 $E_{0}$ 均为常矢量。

\nabla \cdot \vec{r} = 3

\nabla \times \vec{r} = 0

(\vec{a} \cdot \nabla) \vec{r} = \vec{a} \cdot \overset{\leftrightarrow}{I} = \vec{a}

\nabla (\vec{a} \cdot \vec{r}) = (\vec{a} \cdot \nabla) \vec{r} + (\vec{r} \cdot \nabla) \vec{a} + \vec{a} \times (\nabla \times \vec{r}) + \vec{r} \times (\nabla \times \vec{a}) = \vec{a} + 0 + 0 + 0 = \vec{a}

\nabla \cdot [E_{0} \sin (k \cdot r)] = (\nabla \sin (\vec{k} \cdot \vec{r})) \cdot \vec{E_{0}} + \sin (\vec{k} \cdot \vec{r}) \nabla \cdot \vec{E_{0}} = \cos (\vec{k} \cdot \vec{r}) \nabla (\vec{k} \cdot \vec{r}) \cdot \vec{E_{0}} + 0 = \cos (\vec{k} \cdot \vec{r}) (\vec{k} \cdot \vec{E_{0}})

\nabla \times [E_{0} \sin (k \cdot r)] = (\nabla \sin (\vec{k} \cdot \vec{r})) \times \vec{E_{0}} + \sin (\vec{k} \cdot \vec{r}) \nabla \times \vec{E_{0}} = \cos (\vec{k} \cdot \vec{r}) \vec{k} \times \vec{E_{0}} + 0 = \cos (\vec{k} \cdot \vec{r}) (\vec{k} \times \vec{E_{0}})

1.6

若 $m$ 是常矢量，证明除 $R = 0$ 点以外，矢量 $A = \frac{m \times R}{R^{3}}$ 的旋度等于标量 $φ = \frac{m \cdot R}{R^{3}}$ 的梯度的负值，即

\nabla \times A = - \nabla φ (R \neq 0)

其中 $R$ 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

证明：

\begin{matrix} \nabla \times \vec{A} = - \nabla \times (\vec{m} \times \nabla \frac{1}{r}) = - (\vec{m} \nabla^{2} \frac{1}{r} - \vec{m} \cdot \nabla \nabla \frac{1}{r} + (\nabla \frac{1}{r}) \cdot (\nabla \vec{m}) - (\nabla \frac{1}{r}) (\nabla \cdot \vec{m})) \\ = - (0 - \frac{3 (\vec{m} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^{5}} + \frac{\vec{m}}{r^{3}} + 0 - 0) = - \frac{\vec{m}}{r^{3}} + \frac{3 (\vec{m} \cdot \vec{r})}{r^{5}} (R \neq 0) \end{matrix}

\begin{matrix} - \nabla φ = \nabla (\vec{m} \cdot \nabla \frac{1}{r}) = \vec{m} \times (\nabla \times \nabla \frac{1}{r}) + \nabla \frac{1}{r} \times (\nabla \times \vec{m}) + (\vec{m} \cdot \nabla) \nabla \frac{1}{r} + (\nabla \frac{1}{r} \cdot \nabla) \vec{m} \\ = 0 + 0 + \vec{m} \cdot \nabla \nabla \frac{1}{r} + 0 = - \frac{\vec{m}}{r^{3}} + \frac{3 (\vec{m} \cdot \vec{r})}{r^{5}} (R \neq 0) \end{matrix}

思考题

$\nabla \cdot \vec{A} > 0$ ， $\nabla \cdot \vec{A} = 0$ ， $\nabla \cdot \vec{A} < 0$ 在直观图像上有什么差别？ $\nabla \times \vec{A} > 0$ ， $\nabla \times \vec{A} = 0$ ， $\nabla \times \vec{A} < 0$ 呢？

$\nabla \cdot \vec{A} > 0$ 在直观上表示为矢量场 $\vec{A}$ 在图像上从该点向四周“发射”，总体作用向外的；

$\nabla \cdot \vec{A} = 0$ 在直观上表现为该点的矢量场在打转或者干脆没有，进出相互抵消，总通量为0；

$\nabla \cdot \vec{A} < 0$ 在直观上表现为该点的矢量场向内汇聚，总体作用向内。

$\nabla \times \vec{A} = 0$ 表现为该点的矢量场沿着径向或者为0。

我不知道 $\nabla \times \vec{A} > 0$ $\nabla \times \vec{A} < 0$ 是什么意思。如果是针对一个特定方向定义的话那么代表着二者旋转方向相反。

3. $δ$ 函数

2.14

画出函数 $\frac{d δ (x)}{d x}$ 的图，说明 $ρ = - (p \cdot \nabla) δ (x)$ 是一个位于原点的偶极子的电荷密度。

函数 $\frac{d δ (x)}{d x}$ 的图：

注：因为严格的图像画出后函数曲线和坐标轴不太好分辨，此图是利用高斯函数在极限情况下的一个近似图像，可以体现函数的部分性质。

证明：

\begin{matrix} \int ρ \vec{r} d τ = \int - (\vec{p} \cdot \nabla) δ (\vec{r}) \vec{r} d τ = \int ((\nabla \cdot \vec{p}) δ (\vec{r}) - \nabla \cdot (δ (\vec{r}) \vec{p})) \vec{r} d τ \\ = - \int \nabla \cdot (δ (\vec{r}) \vec{p} \vec{r}) d τ + \int δ (\vec{r}) \vec{p} \cdot \nabla \vec{r} d τ = \int δ (\vec{r}) \vec{p} d τ = \vec{p} \end{matrix}

思考题：

(1) $δ (a x) = \frac{1}{| a |} δ (x), a > 0$ . （若 $a < 0$ ，结果如何？）

证明：

\begin{matrix} δ (a x) d (a x) = δ (x) d x \\ ∴ δ (a x) = \frac{1}{| a |} δ (x), a > 0 \end{matrix}

当 $a < 0$ 时，

δ (a x) = - \frac{1}{| a |} δ (x), a > 0

(2) $x δ (x) = 0$ .

∵ f (x) δ (x - x_{0}) = f (x_{0})

∴ x δ (x - 0) = 0

电动力学 第2周作业 ​

1. 矢量分析 ​

(a) ​

(b) ​

(c) 思考选做题 ​

2. 场论 ​

1.1 ​

1.3 ​

1.6 ​

思考题 ​

3. δ 函数 ​

2.14 ​

思考题： ​