统计力学 第4次作业

Chasse_neige

补充题

已知几率分布

$$\rho (x,y)dxdy\propto xydxdy$$

其中 $x$ 和 $y$ 的变化范围为 $0\le x\le a,0\le y\le b$

a) 试将几率分布函数归一化

归一化条件

$${\int }_0^b{\int }_0^{a}Nxydxdy=1$$

计算积分

$${\int }_0^{a}xdx=\frac{a^2}{2},{\int }_0^{b}ydy=\frac{b^2}{2},{\int }_0^b{\int }_0^{a}xydxdy=\frac{a^2{b}^2}{4}$$

因此归一化常数

$$N=\frac{4}{a^2{b}^2}$$

归一化后的分布函数为

$$\rho (x,y)dxdy=\frac{4}{a^2{b}^2}xydxdy$$

b) 求 $y$ 为任意值, 而 $x$ 在 $x$ 到 $x+dx$ 的几率。

对 $y$ 积分得到边缘分布

$$\rho (x)dx={\int }_0^b\rho (x,y)dydx=\frac{4}{a^2{b}^2}xdx{\int }_0^{b}ydy=\frac{4}{a^2{b}^2}\cdot \frac{b^2}{2}xdx=\frac{2}{a^2}xdx$$

因此几率为

$$\rho (x)dx=\frac{2}{a^2}xdx,0\le x\le a.$$

根据粒子的自旋, 对下列粒子进行分类, 即判断它们是玻色子还是费米子

${}^{12}\mathrm{C}$ 原子; ${}^{13}\mathrm{C}$ 原子; ${\mathrm{H}}_2$ 分子; ${\mathrm{H}}^{-}$离子; ${}^3\mathrm{He}$ 原子; ${}^4\mathrm{He}$ 原子; $\alpha$ 粒子; 正电子; ${}^6{\mathrm{Li}}^{-}$离子

粒子	总费米子数	自旋	分类
${}^{12}\mathrm{C}$ 原子	6质子 + 6中子 + 6电子 = 18	0	玻色子
${}^{13}\mathrm{C}$ 原子	6质子 + 7中子 + 6电子 = 19	1/2	费米子
${\mathrm{H}}_2$ 分子	2质子 + 2电子 = 4	0 或 1	玻色子
${\mathrm{H}}^{-}$ 离子	1质子 + 2电子 = 3	1/2	费米子
${}^3\mathrm{He}$ 原子	2质子 + 1中子 + 2电子 = 5	1/2	费米子
${}^4\mathrm{He}$ 原子	2质子 + 2中子 + 2电子 = 6	0	玻色子
$\alpha$ 粒子（${}^4\mathrm{He}$ 核）	2质子 + 2中子 = 4	0	玻色子
正电子	基本粒子，自旋 1/2	1/2	费米子
${}^6{\mathrm{Li}}^{-}$ 离子	3质子 + 3中子 + 4电子 = 10	1	玻色子

若粒子有两个能级，每个能级的简并度为4，设系统由4个费米子组成。问：系统可能出现哪几种分布？各分布出现的微观状态数是多少？那一种分布出现几率最大？请列表表示。

费米子遵守泡利不相容原理，每个量子态最多占据一个粒子。 可能分布：$n_1$（能级 $1$ 粒子数）和 $n_2$（能级 $2$ 粒子数），满足 $n_1+n_2=4$，且 $n_1,n_2\le 4$ 微观状态数：$W=C(4,n_1)\times C(4,n_2)$

分布 $(n_1,n_2)$	微观状态数 $W$
$(0,4)$	$C(4,0)\times C(4,4)=1\times 1=1$
$(1,3)$	$C(4,1)\times C(4,3)=4\times 4=16$
$(2,2)$	$C(4,2)\times C(4,2)=6\times 6=36$
$(3,1)$	$C(4,3)\times C(4,1)=4\times 4=16$
$(4,0)$	$C(4,4)\times C(4,0)=1\times 1=1$

总微观状态数：$1+16+36+16+1=70$ 出现几率最大的分布是 $(2,2)$，微观状态数为 $36$

将上题的粒子换成玻色子，给出对应的结果。

玻色子不受泡利不相容原理限制，每个量子态可占据任意数量粒子。 微观状态数：$W=C(n_1+4-1,n_1)\times C(n_2+4-1,n_2)=C(n_1+3,n_1)\times C(n_2+3,n_2)$

分布 $(n_1,n_2)$	微观状态数 $W$
$(0,4)$	$C(3,0)\times C(7,4)=1\times 35=35$
$(1,3)$	$C(4,1)\times C(6,3)=4\times 20=80$
$(2,2)$	$C(5,2)\times C(5,2)=10\times 10=100$
$(3,1)$	$C(6,3)\times C(4,1)=20\times 4=80$
$(4,0)$	$C(7,4)\times C(3,0)=35\times 1=35$

总微观状态数：$35+80+100+80+35=330$ 出现几率最大的分布是 $(2,2)$，微观状态数为 $100$