统计力学第6次作业

Chasse_neige

7.11 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动, 可以看作二维气体。试写出在二维气体中分子的速度分布和速率分布, 并求平均速率 $\bar{v}$ 、最概然速率 $v_{m}$ 和方均根速率 $v_{s}$ .

对于二维理想气体，首先利用总数的约束定出 $e^{α}$

Z_{t} (β, V) = \frac{1}{h^{3}} \int d^{} ω e^{- β ϵ_{t}} = \frac{2 π m V}{β h^{3}}

所以

e^{α} = \frac{2 π m V}{N β h^{3}}

所以速度分布函数为

f (v_{x}, v_{y}) d v_{x} d v_{y} = \frac{m}{2 π k T} \exp (- \frac{m (v_{x}^{2} + v_{y}^{2})}{2 k T}) d v_{x} d v_{y}

其中 $m$ 为分子质量， $k$ 为玻尔兹曼常数， $T$ 为温度。速率分布函数为

g (v) d v = \frac{m}{k T} v \exp (- \frac{m v^{2}}{2 k T}) d v

平均速率 $\bar{v}$

\bar{v} = \int_{0}^{\infty} v g (v) d v = \sqrt{\frac{π k T}{2 m}}

最概然速率 $v_{m}$

v_{m} = \sqrt{\frac{k T}{m}}

方均根速率 $v_{s}$

v_{s} = \sqrt{\overset{―}{v^{2}}} = \sqrt{\int_{0}^{\infty} v^{2} g (v) d v} = \sqrt{\frac{2 k T}{m}}

7.12 试根据麦氏速度分布律导出两分子的相对速度 $v_{r} = v_{2} - v_{1}$ 和相对速率 $v_{r} = | v_{r} |$ 的概然分布, 并求相对速率的平均值 ${\bar{v}}_{r}$ .

由于两个速度分布是独立的，所以我们可以从联合分布出发

\begin{matrix} f (v_{1 x}, v_{2 x}, v_{1 y}, v_{2 y}) {d^{} v}_{1 x} {d^{} v}_{2 x} {d^{} v}_{1 y} {d^{} v}_{2 y} {d^{} v}_{1 z} {d^{} v}_{2 z} \\ = {(\frac{m_{1}}{2 π k T})}^{\frac{3}{2}} {(\frac{m_{2}}{2 π k T})}^{\frac{3}{2}} \exp (- \frac{m_{1} v_{1}^{2}}{2 k T}) \exp (- \frac{m_{2} v_{2}^{2}}{2 k T}) {d^{} v}_{1 x} {d^{} v}_{2 x} {d^{} v}_{1 y} {d^{} v}_{2 y} {d^{} v}_{1 z} {d^{} v}_{2 z} \end{matrix}

注意到体积元之间存在变换

{d^{} v}_{1 x} {d^{} v}_{2 x} {d^{} v}_{1 y} {d^{} v}_{2 y} {d^{} v}_{1 z} {d^{} v}_{2 z} = d^{} v_{r x} {d^{} v}_{r y} {d^{} v}_{r z} d^{} v_{c o m x} d^{} v_{c o m y} {d^{} v}_{c o m z}

其中 ${\vec{v}}_{r} = {\vec{v}}_{1} - {\vec{v}}_{2}$ , ${\vec{v}}_{c o m} = \frac{m_{1} {\vec{v}}_{1} + m_{2} {\vec{v}}_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ ，所以对于 ${\vec{v}}_{r}$ 和 ${\vec{v}}_{t o t}$ 之间的分布是

f (v_{r x}, v_{r y}, v_{t o t x}, v_{t o t y}) = C \exp (- \frac{μ v_{r}^{2} + m_{t o t} v_{c o m}^{2}}{2 k T})

其中约化质量 $μ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ ，利用独立性分离变量，然后归一化，得到

f_{r} (v_{r}) = {(\frac{μ}{2 π k T})}^{\frac{3}{2}} \exp (- \frac{μ v_{r}^{2}}{2 k T})

相对速率分布函数

h (v_{r}) = \sqrt{\frac{2}{π}} \frac{μ^{\frac{3}{2}}}{(k T)^{\frac{3}{2}}} v_{r}^{2} \exp (- \frac{μ v_{r}^{2}}{2 k T})

相对速率的平均值 ${\bar{v}}_{r}$

{\bar{v}}_{r} = \sqrt{\frac{8 k T}{π μ}} = \sqrt{\frac{16 k T}{π m}} = \sqrt{2} \bar{v}

其中 $\bar{v} = \sqrt{\frac{8 k T}{π m}}$ 是单个分子的平均速率。

7.14 分子从器壁的小孔射出, 求在射出的分子束中, 分子的平均速率、方均根速率和平均能量。

分子从器壁小孔射出形成分子束。容器内分子服从麦克斯韦速度分布，射出分子的速度分布与 $v_{z} f (v)$ 成正比（ $v_{z} > 0$ ，小孔法线沿 $z$ 轴）。分子束的速度分布

f_{beam} (v) = \sqrt{\frac{2 π m}{k T}} v_{z} f (v), v_{z} > 0

其中

f (v) = {(\frac{m}{2 π k T})}^{\frac{3}{2}} \exp (- \frac{m v^{2}}{2 k T})

平均速率 ${\bar{v}}_{beam}$

{\bar{v}}_{beam} = \int v f_{beam} (v) d^{3} v = \sqrt{\frac{9 π k T}{8 m}}

方均根速率 $v_{s,beam}$

v_{s,beam} = \sqrt{{\overset{―}{v^{2}}}_{beam}} = \sqrt{\int v^{2} f_{beam} (v) d^{3} v} = 2 \sqrt{\frac{k T}{m}}

平均能量 ${\bar{ϵ}}_{beam}$

{\bar{ϵ}}_{beam} = \frac{1}{2} m {\overset{―}{v^{2}}}_{beam} = 2 k T

7.17 气柱的高度为 $H$ , 处在重力场中, 试证明此气柱的内能和热容量为

\begin{matrix} U = U_{0} + N k T - \frac{N m g H}{(\exp (\frac{m g h}{k T}) - 1)} \\ C_{V} = C_{V}^{0} + N k - \frac{N (m g H)^{2} \exp (\frac{m g h}{k T})}{{(\exp (\frac{m g h}{k T}) - 1)}^{2}} \frac{1}{k T^{2}} \end{matrix}

单粒子配分函数

Z_{1} = \frac{A}{h^{3}} (2 π m k T)^{\frac{3}{2}} \int_{0}^{H} e^{- \frac{m g z}{k T}} d z = \frac{A}{h^{3}} (2 π m k T)^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{k T}{m g} (1 - e^{- \frac{m g H}{k T}})

$N$ 粒子配分函数

Z = Z_{1}^{N}

内能 $U$

U = k T^{2} {(\frac{\partial \ln Z}{\partial T})}_{V, N} = U_{0} + N k T - \frac{N m g H}{e^{\frac{m g H}{k T}} - 1}

其中 $U_{0} = \frac{3}{2} N k T$ 为无重力场时单原子理想气体的内能。

定容热容量 $C_{V}$

C_{V} = {(\frac{\partial U}{\partial T})}_{V} = C_{V}^{0} + N k - \frac{N (m g H)^{2} e^{\frac{m g H}{k T}}}{k T^{2} {(e^{\frac{m g H}{k T}} - 1)}^{2}}

其中 $C_{V}^{0}$ 为无重力场时的定容热容量。

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