高等微积分 （2） 第5次作业

Chasse_neige

1

计算偏导数

(1) 设 $f\in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$, $z=xy+xf\left({\displaystyle \frac{y}{x}}\right)$. 求 $x{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}+y{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$

$$x{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}+y{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}=x(y+f+x{f}^{\prime }(-\frac{y}{x^2}))+y(x+x{f}^{\prime }\frac{1}{x})=2xy+xf$$

(2) 设 $f\in C^2({\mathbb{R}}^2,\mathbb{R})$, $z=f(x,xy)$. 求 ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}}$

$${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}}=\frac{\partial }{\partial y}{f}_2^{\prime }x=f_{22}^{″}{x}^2$$

(3) 设 $f,g\in C^2(\mathbb{R},\mathbb{R})$, $z=xf\left({\displaystyle \frac{y}{x}}\right)+yg\left({\displaystyle \frac{x}{y}}\right)$. 求 ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}}$

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}}=\frac{\partial }{\partial x}(x{f}^{\prime }\frac{1}{x}+g+y{g}^{\prime }(-\frac{x}{y^2}))=\frac{\partial }{\partial x}(f^{\prime }+g-\frac{x}{y}{g}^{\prime })\\ =-\frac{y}{x^2}{f}^{″}+\frac{1}{y}{g}^{\prime }-\frac{1}{y}{g}^{\prime }-\frac{x}{y^2}{g}^{″}=-\frac{y}{x^2}{f}^{″}-\frac{x}{y^2}{g}^{″}\end{array}$$

(4) 设 $f\in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$, $z={\displaystyle \frac{y}{f(x^2-y^2)}}$. 求 ${\displaystyle \frac{1}{x}}{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$

$${\displaystyle \frac{1}{x}}{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}=\frac{1}{x}(-\frac{y}{f^2}{f}^{\prime })2x+\frac{1}{y}(\frac{1}{f}+\frac{y}{f^2}{f}^{\prime }2y)=\frac{1}{yf}$$

(5) 设 $f\in C^1({\mathbb{R}}^3,\mathbb{R})$, $u=f(x,xy,xyz)$. 求 ${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}},{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}},{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial z}}$

$$\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial x}=f_1^{\prime }+y{f}_2^{\prime }+yz{f}_3^{\prime }\\ \frac{\partial u}{\partial y}=x{f}_2^{\prime }+xz{f}_3^{\prime }\\ \frac{\partial u}{\partial z}=xy{f}_3^{\prime }\end{array}$$

这里, 我们称函数 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 是 $C^k$ 光滑的, 记作 $f\in C^k({\mathbb{R}}^n,\mathbb{R})$, 如果 $f$ 的各个 $k$ 阶 (偏) 导函数都存在且连续.

2

给定 $C^1$ 光滑的函数 $F:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$. 求函数

$$F(u^2-x^2,u^2-y^2,u^2-z^2)$$

对 $x,y,z,u$ 的偏导数

$$\begin{array}{c}\frac{\partial F}{\partial x}=-2x{F}_1^{\prime }\\ \frac{\partial F}{\partial y}=-2y{F}_2^{\prime }\\ \frac{\partial F}{\partial z}=-2z{F}_3^{\prime }\\ \frac{\partial F}{\partial u}=2u(F_1^{\prime }+F_2^{\prime }+F_3^{\prime })\end{array}$$

3

给定 $n\times n$ 的对称实矩阵 $(A_{ij}{)}_{1\le i,j\le n}$(即对任何 $i,j$, 有 $A_{ij}=A_{ji}$). 定义二次函数

$$Q(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{A}_{ij}{x}_i{x}_j,\mathrm{\forall }(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$$

(1) 求 $Q$ 的微分

$$dQ=2\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{A}_{ij}{x}_{i}d{x}_j,\mathrm{\forall }(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$$

(2) 设 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 是 $C^1$ 光滑的函数. 定义函数

$$g(x_1,\dots ,x_n)=f(x_1,\dots ,x_n)e^{-\frac{1}{2}Q(x_1,\dots ,x_n)}.$$

计算 $g$ 的各个偏导数 ${\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x_1}},\dots ,{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x_n}}$.

$$\frac{\partial g}{\partial x_k}=f_k^{\prime }{e}^{-\frac{1}{2}Q}-\frac{1}{2}f\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{A}_{ij}{\delta }_{ik}{x}_j+A_{ij}{x}_i{\delta }_{jk}{e}^{-\frac{1}{2}Q}=f_k^{\prime }{e}^{-\frac{1}{2}Q}-f\sum _{i=1}^n{A}_{ik}{x}_i{e}^{-\frac{1}{2}Q}$$

4

设 $f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$ 是 $C^1$ 光滑的函数, 即 $f$ 的各个偏导数都存在且连续.

(1) 对于给定的点 $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$, 考虑关于 $t$ 的一元函数

$$g(t)=f(tx,ty,tz).$$

求 $g^{\prime }(t)$

$$g^{\prime }(t)=x{f}_1^{\prime }+y{f}_2^{\prime }+z{f}_3^{\prime }$$

(2) 证明: 对任何 $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$, 有

$$f(x,y,z)=f(0,0,0)+x{\int }_0^1{f}_x(tx,ty,tz)dt+y{\int }_0^1{f}_y(tx,ty,tz)dt+z{\int }_0^1{f}_z(tx,ty,tz)dt$$

在本题 (3), (4) 小问中假设 $f$ 满足: 对任何 $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$ 都有

$$x{f}_x(x,y,z)+y{f}_y(x,y,z)+z{f}_z(x,y,z)=nf(x,y,z),$$

其中 $n$ 是某个给定的正整数.

证明：

$$\begin{array}{c}f(x,y,z)=g(1)=g(0)+{\int }_0^1{g}^{\prime }(t)dt=g(0)+{\int }_0^1(x{f}_1^{\prime }+y{f}_2^{\prime }+z{f}_3^{\prime })dt\\ =f(0,0,0)+x{\int }_0^1{f}_x(tx,ty,tz)dt+y{\int }_0^1{f}_y(tx,ty,tz)dt+z{\int }_0^1{f}_z(tx,ty,tz)dt\end{array}$$

(3) 对于给定的点 $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$, 考虑关于 $t$ 的一元函数

$$h(t)={\displaystyle \frac{f(tx,ty,tz)}{t^n}}.$$

求 $h^{\prime }(t)$

$$h^{\prime }(t)=\frac{x{f}_1^{\prime }+y{f}_2^{\prime }+z{f}_3^{\prime }}{t^n}-n\frac{f}{t^{n+1}}$$

(4) 证明: 对任何 $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$ 与 $t>0$, 都有

$$f(tx,ty,tz)=t^{n}f(x,y,z)$$

证明：

由于 $f$ 满足: 对任何 $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$ 都有

$$x{f}_x(x,y,z)+y{f}_y(x,y,z)+z{f}_z(x,y,z)=nf(x,y,z),$$

所以 $g^{\prime }(1)=ng(1)$

对于一般的 $g(t)$ ，作换元 $x^{\prime }=tx,y^{\prime }=ty,z^{\prime }=tz$，所以

$$t{g}^{\prime }(t)=ng(t)$$$$\frac{dg}{g}=n\frac{dt}{t}$$

两遍同时积分

$$\begin{array}{c}{\int }_{g(1)}^{g(t)}\frac{dg}{g}=n{\int }_1^t\frac{dt}{t}\\ g(t)=t^{n}g(1)\end{array}$$

所以

$$f(tx,ty,tz)=t^{n}f(x,y,z)$$