高等微积分 （2） 第6次作业

Chasse_neige

1

设 $x,y,z$ 满足方程 $x^3+y^3+z^3+xyz=4$.

(1) 证明: 在点 $(1,1,1)$ 附近, $z$ 可以表示成 $x,y$ 的隐函数.

证明：考虑该点处的偏导矩阵

$$\frac{\partial F}{\partial z}{|}_{(1,1,1)}=3z^2+xy=4\ne 0$$

所以隐函数存在

(2) 把上述隐函数记作 $z=z(x,y)$, 求 ${{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}|}_{(1,1)},{{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}|}_{(1,1)}$

$$3x^2+3z^2\frac{\partial z}{\partial x}+yz+xy\frac{\partial z}{\partial x}=0$$

带入$(x,y)=(1,1)$，$z=1$

$$3+3{{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}|}_{(1,1)}+1+{{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}|}_{(1,1)}=0$$

所以

$${{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}|}_{(1,1)}=-1$$

同理

$$3y^2+3z^2\frac{\partial z}{\partial y}+xz+xy\frac{\partial z}{\partial y}=0$$

所以

$$3+3{{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}|}_{(1,1)}+1+{{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}|}_{(1,1)}=0$$$${{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}|}_{(1,1)}=-1$$

(3) 求 $z(x,y)$ 在 $(1,1)$ 附近带皮亚诺余项的泰勒公式, 要求展开至二次项, 即要求余项形如 $o((\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2)$.

二阶项

$$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}{|}_{(1,1)}=-\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{3x^2+yz}{3z^2+xy}\right)=-\frac{(6x+y\frac{\partial z}{\partial x})(3z^2+xy)-(3x^2+yz)(6z\frac{\partial z}{\partial x}+y)}{(3z^2+xy{)}^2}\\ =-\frac{5\cdot 4-4\cdot (-5)}{4^2}=-\frac{5}{2}\end{array}$$$$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=-\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{3x^2+yz}{3z^2+xy}\right)=-\frac{(z+y\frac{\partial z}{\partial y})(3z^2+xy)-(3x^2+yz)(6z\frac{\partial z}{\partial y}+x)}{(3z^2+xy{)}^2}\\ =-\frac{0-4\cdot (-5)}{4^2}=-\frac{5}{4}\end{array}$$$$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}{|}_{(1,1)}=-\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{3y^2+xz}{3z^2+xy}\right)=-\frac{(6y+x\frac{\partial z}{\partial x})(3z^2+xy)-(3y^2+xz)(6z\frac{\partial z}{\partial x}+x)}{(3z^2+xy{)}^2}\\ =-\frac{5\cdot 4-4\cdot (-5)}{4^2}=-\frac{5}{2}\end{array}$$

所以$z(x,y)$ 在 $(1,1)$ 附近带皮亚诺余项的泰勒公式为

$$z(x,y)=1-(x-1)-(y-1)-\frac{5}{4}(x-1{)}^2-\frac{5}{4}(x-1)(y-1)-\frac{5}{4}(y-1{)}^2+o(\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2)$$

2

设 $f,g:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ 的各个 2 阶偏导函数都存在且连续, $g(x_0,y_0)=0$, $g_y(x_0,y_0)\ne 0$. 设方程 $g(x,y)=0$ 在 $(x_0,y_0)$ 附近确定 $C^2$ 光滑的隐函数 $y=y(x)$. 定义函数 $h:U\to \mathbb{R}$ 如下:

$$h(x)=f(x,y(x)),$$

其中 $U$ 是 $x_0$ 的某个邻域, $y=y(x)$ 在 $U$ 中有定义.

(1) 求导函数 $h^{\prime }(x)$.

$$h^{\prime }(x)=f_1^{\prime }+f_2^{\prime }\frac{\partial y}{\partial x}$$

根据隐函数的性质

$$\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{g_x(x_0,y_0)}{g_y(x_0,y_0)}$$

所以

$$h^{\prime }(x)=f_1^{\prime }-f_2^{\prime }\frac{g_x(x_0,y_0)}{g_y(x_0,y_0)}$$

(2) 求 2 阶导函数 $h^{″}(x)$.

$$\begin{array}{c}{h}^{″}(x)=\frac{\partial }{\partial x}(f_1^{\prime }(x,y(x))+f_2^{\prime }(x,y(x))\frac{\partial y(x)}{\partial x})\\ =f_{11}^{″}+f_{21}^{″}\frac{\partial y}{\partial x}+f_{12}^{″}\frac{\partial y}{\partial x}+f_{22}^{″}(\frac{\partial y}{\partial x}{)}^2+f_2^{\prime }\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}\end{array}$$

带入$\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{g_x(x_0,y_0)}{g_y(x_0,y_0)}$ 以及 $\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}=-\frac{\partial }{\partial x}\frac{g_x}{g_y}=-\frac{g_{xx}{g}_y-g_x{g}_{xy}}{g_y^2}$

得到

$$h^{″}(x)=f_{11}^{″}-2f_{21}^{″}\frac{g_x}{g_y}+f_{22}^{″}(\frac{g_x}{g_y}{)}^2+f_2^{\prime }\frac{g_x{g}_{xy}-g_{xx}{g}_y}{g_y^2}$$

3

设 $L:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ 是给定的 $C^2$ 光滑函数. 定义映射 $\varphi :{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 为:

$$\varphi (x,v)=(x,{\displaystyle \frac{\partial L(x,v)}{\partial v}}).$$

(1) 求 $\varphi$ 的 Jacobi 矩阵 $J(\varphi {)}_{(x,v)}$

$$\begin{gathered} J(\varphi {)}_{(x,\nu )}=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial x}& \frac{\partial x}{\partial \nu }\\ \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial L(x,\nu )}{\partial \nu }& \frac{\partial }{\partial \nu }\frac{\partial L(x,\nu )}{\partial \nu }\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \frac{{\partial }^{2}L(x,\nu )}{\partial x\partial \nu }& \frac{{\partial }^{2}L(x,\nu )}{\partial {\nu }^2}\end{array}\right) \end{gathered}$$

(2) 证明: 如果 ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}L(x,v)}{\partial v^2}}\ne 0$, 则 $\varphi$ 在 $(x,v)$ 附近有 $C^1$ 光滑的逆映射. 以下我们假定 $\varphi$ 有整体的 $C^1$ 光滑的逆 ${\varphi }^{-1}$, 并把它记作:

$${\varphi }^{-1}(q,p)=(x(q,p),v(q,p)),$$

显然 $x(q,p)=q$

证明

由于${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}L(x,v)}{\partial v^2}}=0$, 则

$$detJ(\varphi {)}_{(x,\nu )}=\frac{{\partial }^{2}L}{\partial v^2}\ne 0$$

所以 $df$ 存在逆 $d^{-1}f$

根据反函数定理，映射$\varphi$ 存在整体的 $C^1$ 光滑的逆 ${\varphi }^{-1}$

(3) 定义函数 $H(q,p)=p\cdot v(q,p)-L(x(q,p),v(q,p))$, 计算

$${\displaystyle \frac{\partial H}{\partial q}},{\displaystyle \frac{\partial H}{\partial p}}$$$$\frac{\partial H}{\partial q}=\frac{\partial }{\partial q}(p\cdot v(q,p)-L(x(q,p),v(q,p)))=p\frac{\partial v}{\partial q}-\frac{\partial L}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial q}-\frac{\partial L}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial q}$$

带入 $x=q,p=\frac{\partial L}{\partial v}$

$$\frac{\partial H}{\partial q}=-\frac{\partial L}{\partial x}$$$$\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{\partial }{\partial p}(p\cdot v(q,p)-L(x(q,p),v(q,p)))=v+p\frac{\partial v}{\partial p}-\frac{\partial L}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial p}-\frac{\partial L}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial p}=v$$

(4) 对于 $C^1$ 光滑映射 $\gamma :\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$, $\gamma (t)=(x(t),v(t))$, 把复合映射 $\varphi \circ \gamma :\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$ 记作:

$$\varphi \circ \gamma (t)=(q(t),p(t)).$$

证明: $(x(t),v(t)$ 满足 Euler-Lagrange 方程

$$\{\begin{array}{l}v(t)={\displaystyle \frac{dx(t)}{dt}}\\ {\displaystyle \frac{d}{dt}}{\displaystyle \frac{\partial L(x(t),v(t))}{\partial v}}={\displaystyle \frac{\partial L(x(t),v(t))}{\partial x}}\end{array}$$

的充分必要条件是 $q(t),p(t)$ 满足 Hamilton 方程

$$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{dq(t)}{dt}}={\displaystyle \frac{\partial H(q(t),p(t))}{\partial p}}\\ {\displaystyle \frac{dp(t)}{dt}}=-{\displaystyle \frac{\partial H(q(t),p(t))}{\partial q}}\end{array}$$

证明

充分性：假设满足哈密顿方程

$$(x(t),\frac{\partial L}{\partial v}(t))=\varphi (x(t),v(t))=(q(t),p(t))$$

所以

$$\frac{d}{dt}p(t)=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v}=-{\displaystyle \frac{\partial H}{\partial q}}=\frac{\partial L}{\partial x}$$

即

$${\displaystyle \frac{d}{dt}}{\displaystyle \frac{\partial L(x(t),v(t))}{\partial v}}={\displaystyle \frac{\partial L(x(t),v(t))}{\partial x}}$$

同理

$$\frac{d}{dt}q(t)=\frac{d}{dt}x=\frac{\partial H}{\partial p}=v$$

即

$$\frac{d}{dt}x(t)=v(t)$$

必要性：假设满足拉格朗日方程，则由（3）的结论

$$\frac{\partial H(q(t),p(t))}{\partial q}=-\frac{\partial L}{\partial x}=-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v}=-\frac{d}{dt}p(t)$$$$\frac{\partial H(q(t),p(t))}{\partial p}=v=\frac{d}{dt}x=\frac{d}{dt}q(t)$$

4

设 $U,V$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的开集. 已知 $f:U\to V$ 是 $C^1$ 光滑的双射, 且其逆映射 $f^{-1}:V\to U$ 是连续的.

(1) 证明: 如果在 $x_0\in U$ 处 $f$ 的雅可比矩阵 $J_f(x_0)$ 是可逆矩阵. 证明: $f^{-1}$ 在 $f(x_0)$ 处可微.

证明

由于$f:U\to V$ 是 $C^1$ 光滑的双射, 所以其逆映射 $f^{-1}:V\to U$ 是 $C^1$ 的。

所以 $f^{-1}$ 在 $f(x_0)$ 处可微。这样说有点耍赖，我还是把反函数定理里的证明复述一遍吧

作平移以及换元使得$\overline{f}(0)={\overline{f}}^{-1}(0)=0$， $J_{\overline{f}}(0)=J_{{\overline{f}}^{-1}}(0)=I_d$

所以

$$\overline{f}(u_0+h)=\overline{f}(u_0)+h+\alpha (h)\underset{|h|\to 0}{lim}\frac{\alpha (h)}{|h|}=0$$$${\overline{f}}^{-1}(v_0+v)={\overline{f}}^{-1}(v_0)+v+\beta (v)$$

证明

$$\underset{|v|\to 0}{lim}\frac{\beta (v)}{|v|}=\underset{|v|\to 0}{lim}\frac{{\overline{f}}^{-1}(v_0+v)-{\overline{f}}^{-1}(v_0)-v}{|v|}=0$$

即可

作换元 $\overline{f}(u_0)=v_0,\overline{f}(u_0+h)=v_0+v,h={\overline{f}}^{-1}(\overline{f}(u_0)+v)-u_0$

$$\underset{|v|\to 0}{lim}\frac{\beta (v)}{|v|}=\underset{|v|\to 0}{lim}\frac{h-v}{|v|}=\underset{|h|\to 0}{lim}\frac{-\alpha (h)}{|h+\alpha (h)|}=0$$

所以 ${\overline{f}}^{-1}$ 在 $\overline{f}(u_0)$ 处可微，所以 $f^{-1}$ 在 $f(x_0)$ 处可微

(2) 假设对任何 $x\in U$, $f$ 的雅可比矩阵 $J_f(x)$ 都是可逆矩阵. 证明: $f^{-1}:V\to U$ 是 $C^1$ 光滑映射

证明

已经证明任何 $x\in U$, $f^{-1}$ 在 $f(x_0)$ 处可微，又因为$J_f(x)$ 是可逆矩阵，因为$f:U\to V$ 是 $C^1$ 光滑的，所以$J_f$ 的矩阵元都是连续函数

利用链式法则

$$J_{f^{-1}}(y)=(J_f(f^{-1}(y)){)}^{-1}$$

由于$J_f(x)$ 是可逆的所以$J_{f^{-1}}(y)$ 的矩阵元均连续，所以对任何 $x\in U$, $f^{-1}$ 各个分量的偏导均是连续的，所以$f^{-1}:V\to U$ 是 $C^1$ 光滑映射。