费曼物理学（2）第1次作业

Chasse_neige

以下所有运算均采取爱因斯坦求和约定

1. 高维空间的矢量分析

(1). 一般而言，叉乘只能定义在特殊的维度，做为其推广，外积可以定义在任意维度。假设 ${\vec{e}}_{1} = (1, 0, 0)^{T}$ 、 ${\vec{e}}_{2} = (0, 1, 0)^{T}$ 和 ${\vec{e}}_{3} = (0, 0, 1)^{T}$ 为 $R^{3}$ 上的标准基底，则 $\forall \vec{u} = u_{1} {\vec{e}}_{1} + u_{2} {\vec{e}}_{2} + u_{3} {\vec{e}}_{3}$ ， $\vec{v} = v_{1} {\vec{e}}_{1} + v_{2} {\vec{e}}_{2} + v_{3} {\vec{e}}_{3} \in R^{3}$ ，其外积定义为：

\vec{u} \land \vec{v} = (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) ({\vec{e}}_{1} \land {\vec{e}}_{2}) + (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}) ({\vec{e}}_{2} \land {\vec{e}}_{3}) + (u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}) ({\vec{e}}_{3} \land {\vec{e}}_{1}) (1.1)

对于 $\vec{w} = w_{1} {\vec{e}}_{1} + w_{2} {\vec{e}}_{2} + w_{3} {\vec{e}}_{3}$ ，试计算：

\begin{matrix} \vec{u} \land \vec{v} \land \vec{w} \\ = ((u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) (\vec{e_{1}} \land \vec{e_{2}}) + (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}) (\vec{e_{2}} \land \vec{e_{3}}) + (u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}) (\vec{e_{3}} \land \vec{e_{1}})) \land (w_{1} \vec{e_{1}} + w_{2} \vec{e_{2}} + w_{3} \vec{e_{3}}) \\ = (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) w_{3} (\vec{e_{1}} \land \vec{e_{2}} \land \vec{e_{3}}) + (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}) w_{1} (\vec{e_{2}} \land \vec{e_{3}} \land \vec{e_{1}}) + (u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}) w_{2} (\vec{e_{3}} \land \vec{e_{1}} \land \vec{e_{2}}) \\ = (ϵ_{i j k} u_{i} v_{j} w_{k}) (\vec{e_{1}} \land \vec{e_{2}} \land \vec{e_{3}}) \end{matrix}

(2). 从外积的运算法则中我们发现外积具有和叉乘类似的结构。事实上，两者可以通过 Hodge 对偶联系起来。假设 $u = \frac{1}{p!} u_{μ_{1} \dots μ_{p}} e_{μ_{1}} \land \dots \land e_{μ_{p}}$ 是 $R^{n}$ 中的 $p$ -形式，则 Hodge 对偶将 $u$ 映射为 $(n - p)$ -形式：

⋆ u = ⋆ (\frac{1}{p!} u_{μ_{1} \dots μ_{p}} e_{μ_{1}} \land \dots \land e_{μ_{p}}) = \frac{1}{p! (n - p)!} ϵ_{ν_{1} \dots ν_{p}, μ_{1} \dots μ_{n - p}} u_{ν_{1} \dots ν_{p}} e_{μ_{1}} \land \dots \land e_{μ_{n - p}}

其中 $ϵ_{ν_{1} \dots ν_{p}, μ_{1} \dots μ_{n - p}}$ 为 Levi-Civita 符号。写成分量形式为：

(⋆ u)_{μ_{1} \dots μ_{n - p}} = \frac{1}{p!} ϵ_{ν_{1} \dots ν_{p}, μ_{1} \dots μ_{n - p}} u_{ν_{1} \dots ν_{p}}

特别的，对于 $R^{3}$ 中的矢量 $\vec{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ 有：

⋆ \vec{u} = u_{1} {\vec{e}}_{2} \land {\vec{e}}_{3} + u_{2} {\vec{e}}_{3} \land {\vec{e}}_{1} + u_{3} {\vec{e}}_{1} \land {\vec{e}}_{2}

试证明：

\begin{matrix} \vec{u} \land \vec{v} = ⋆ (\vec{u} \times \vec{v}) \\ \vec{u} \times \vec{v} = ⋆ (\vec{u} \land \vec{v}) \end{matrix}

证明： $\vec{u} \times \vec{v} = ϵ_{i j k} u_{i} v_{j} \vec{e_{k}}$ ，是一个1-form。将它作霍奇对偶：

注：由于原题中的 Hodge Star 貌似是对一组排列的指标定义的（我不是很理解这么写的原因，我认为不在 p-form 前面加 $\frac{1}{p!}$ 是不利于指标运算的），为了后续利用指标计算方便，我们将其该写为对所有排列指标作用的形式，并通过因子 $\frac{1}{(n - p)!}$ 消去简并的重复系数：

⋆ (\frac{1}{p!} u_{μ_{1} \dots μ_{p}} e_{μ_{1}} \land \dots \land e_{μ_{p}}) = \frac{1}{(p)! (n - p)!} ϵ_{ν_{1} \dots ν_{p}, μ_{1} \dots μ_{n - p}} u_{ν_{1} \dots ν_{p}} e_{μ_{1}} \land \dots \land e_{μ_{n - p}}

此时 $μ_{1}, \dots, μ_{n - p}$ 可以取遍所有 $(n - p)!$ 个值。

⋆ (\vec{u} \times \vec{v}) = \frac{1}{2!} ϵ_{k l m} ϵ_{i j k} u_{i} v_{j} (\vec{e_{l}} \land \vec{e_{m}}) = \frac{1}{2} | \begin{matrix} δ_{l i} & δ_{l j} \\ δ_{m i} & δ_{m j} \end{matrix} | u_{i} v_{j} (\vec{e_{l}} \land \vec{e_{m}}) = \frac{1}{2} (u_{i} v_{j} (\vec{e_{i}} \land \vec{e_{j}}) - u_{i} v_{j} (\vec{e_{j}} \land \vec{e_{i}})) = u_{i} v_{j} (\vec{e_{i}} \land \vec{e_{j}}) = \vec{u} \land \vec{v}

同理：

⋆ (\vec{u} \land \vec{v}) = \frac{1}{2!} ϵ_{i j k} (u_{i} v_{j} - u_{j} v_{i}) \vec{e_{k}} = ϵ_{i j k} u_{i} v_{j} \vec{e_{k}} = \vec{u} \times \vec{v}

(3). 利用外导数与外积和 Hodge 对偶，我们可以将 Maxwell 方程组写成一个紧凑的形式。我们首先定义外导数，假设 $A = \frac{1}{p!} A_{μ_{1} \dots μ_{p}} e_{μ_{1}} \land \dots \land e_{μ_{p}}$ 是 $p$ -形式，则外导数定义为：

(d A)_{μ_{1} \dots μ_{p + 1}} = (p + 1) \partial_{[μ_{1}} A_{μ_{2} \dots μ_{p + 1}]}

其中 $[\dots]$ 表示对所有置换指标的可能求和并除以 $(p + 1)!$ ，且置换次数为奇数时为负，偶数时为正。如 $A$ 是标量时： $(d A)_{μ} = \partial_{μ} A$ 。试证明：当 $A$ 为 4-矢量电磁势时，满足：

F_{μ ν} = (d A)_{μ ν} = (\partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ})

进一步的请证明 Maxwell 方程满足：

\begin{matrix} d F = 0 \\ d (⋆ F) = ⋆ J \end{matrix}

其中 $J$ 为四矢量形式的电流密度。（注：本题当中我们在 Euclidean 时空下，即不考虑时间和空间分量的不同，此时麦克斯韦方程组的四维协变形式为 $\partial_{μ} F^{μ ν} = - J^{ν}$ 。值得一提的是，如果不存在外源 $J$ ，我们可以发现方程在 $F \to ⋆ F$ 变换下是不变的，此即著名的 S-对偶。）

（3）直接利用定义导出电磁场张量：

\vec{A} = (\begin{matrix} \frac{ϕ}{c}, A_{x}, A_{y}, A_{z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{ϕ}{c}, A_{i} \end{matrix}) (i = 1, 2, 3)

∵ \vec{B} = \nabla \times \vec{A}

∴ B_{k} = ϵ_{i j k} \partial_{i} A_{j}

∵ \vec{E} = - \nabla ϕ - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}

∴ E_{i} = - \partial_{i} ϕ - \partial_{t} A_{i}

(d A)_{μ ν} = (\partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ})

用直观的分量形式表现出来就是

F = [\begin{matrix} 0 & \frac{E_{x}}{c} & \frac{E_{y}}{c} & \frac{E_{z}}{c} \\ - \frac{E_{x}}{c} & 0 & B_{z} & - B_{y} \\ - \frac{E_{y}}{c} & - B_{z} & 0 & B_{x} \\ - \frac{E_{z}}{c} & B_{y} & - B_{x} & 0 \end{matrix}]

证明：1. $d F = 0$

(d F)_{i j k} = (2 + 1) \partial_{[i} F_{j k]} = \frac{1}{2} (ϵ_{i j k} \partial_{i} F_{j k}) = \frac{1}{2} (ϵ_{i j k} \partial_{i} (\partial_{j} A_{k} - \partial_{k} A_{j})) = ϵ_{i j k} \partial_{i} \partial_{j} A_{k}

∵ ϵ_{i j k} \partial_{i} \partial_{j} A_{k} = \nabla \cdot (\nabla \times \vec{A}) = 0

∴ d F = 0

2. $d (⋆ F) = ⋆ J$

计算对偶张量：因为闵氏时空度规对角元均为1和-1，所以可以直接采用原来欧式空间中的 Hodge Star 形式。

⋆ F = \frac{1}{2! \times 2!} ϵ_{i j k l} F_{i j} \vec{e_{k}} \land \vec{e_{l}} = \frac{1}{4} ϵ_{i j k l} (\partial_{i} A_{j} - \partial_{j} A_{i}) \vec{e_{k}} \land \vec{e_{l}}

用分量形式表示：

⋆ F = [\begin{matrix} 0 & B_{x} & B_{y} & B_{z} \\ - B_{x} & 0 & - \frac{E_{z}}{c} & \frac{E_{y}}{c} \\ - B_{y} & \frac{E_{z}}{c} & 0 & - \frac{E_{x}}{c} \\ - B_{z} & - \frac{E_{y}}{c} & \frac{E_{x}}{c} & 0 \end{matrix}]

d (⋆ F) = \partial_{m} (\frac{1}{4} ϵ_{i j k l} (\partial_{i} A_{j} - \partial_{j} A_{i})) \vec{e_{m}} \land \vec{e_{k}} \land \vec{e_{l}} = \frac{1}{2} ϵ_{i j k l} \partial_{m} \partial_{i} A_{j} \vec{e_{m}} \land \vec{e_{k}} \land \vec{e_{l}}

注意：此处在 $\vec{e_{m}} \land \vec{e_{k}} \land \vec{e_{l}}$ 跟在式子后面的情况下是不需要外微分所引起的Levi-Civita和归一化系数的，因为 $\vec{e_{m}} \land \vec{e_{k}} \land \vec{e_{l}}$ 隐含了这一点，而“分量”应写为

d (⋆ F)_{m k l} = \frac{1}{2} ϵ_{m k l} ϵ_{i j k l} \partial_{m} \partial_{i} A_{j}

J = (\begin{matrix} c ρ, \vec{j} \end{matrix})

⋆ J = \frac{1}{3!} ϵ_{j m k l} J_{j} \vec{e_{m}} \land \vec{e_{k}} \land \vec{e_{l}}

(⋆ J)_{m k l} = \frac{1}{6} ϵ_{m k l} ϵ_{j m k l} J_{j}

在洛伦兹规范 $\partial_{i} A_{i} = 0$ 下， $\partial_{i}^{2} A_{j} = - J_{j}$ （取自然单位制）对确定的 $m, k, l$ 而言：

\begin{matrix} d (⋆ F)_{m k l} = \frac{1}{2} ϵ_{m k l} ϵ_{i j k l} \partial_{m} \partial_{i} A_{j} \\ = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} ϵ_{i k l} ϵ_{i k l} ϵ_{m k l} ϵ_{i j k l} \partial_{m} \partial_{i} A_{j} \\ = \frac{1}{6} δ_{i m} ϵ_{i k l} ϵ_{i j k l} \partial_{m} \partial_{i} A_{j} \\ = \frac{1}{6} ϵ_{m k l} ϵ_{m j k l} \partial_{m}^{2} A_{j} \\ = - \frac{1}{6} ϵ_{m k l} ϵ_{m j k l} J_{j} \\ = \frac{1}{6} ϵ_{m k l} ϵ_{j m k l} J_{j} \\ = (⋆ J)_{m k l} \end{matrix}

(4). 给定一个标量场 $f$ ，和 1-形式场（矢量场） $A$ ，试证明：

(\nabla f)_{μ} = (d f)_{μ}, (\nabla \times A)_{μ} = ⋆ (d A)_{μ}, \nabla \cdot A = ⋆ (d ⋆ A)

既然题目里出现了旋度，默认在三维下进行运算：

(d f)_{μ} = \partial_{μ} f = (\nabla f)_{μ}

⋆ (d A)_{μ} = \frac{1}{2} ϵ_{μ i j} (\partial_{i} A_{j} - \partial_{j} A_{i}) = ϵ_{μ i j} \partial_{i} A_{j} = (\nabla \times A)_{μ}

⋆ (d ⋆ A) = ⋆ (d \frac{1}{2} ϵ_{i j k} A_{i} \vec{e_{j}} \land \vec{e_{k}}) = ⋆ (\frac{1}{2} \partial_{l} ϵ_{i j k} A_{i} \vec{e_{l}} \land \vec{e_{j}} \land \vec{e_{k}}) = \frac{1}{2} \partial_{l} ϵ_{i j k} ϵ_{l j k} A_{i} = δ_{l i} \partial_{l} A_{i} = \partial_{i} A_{i} = \nabla \times A

(5). 给定一个形式场 $ω$ 。若 $d ω = 0$ ，则称该形式场是闭的。若存在形式场 $μ$ 使得 $ω = d μ$ ，则称该形式场是恰当的。试证明恰当的形式场一定是闭的，并由这一结论推出“梯度场无旋度，旋度场无散度”。Poincare 引理表明，在单连通空间中，闭的形式场一定是恰当的。试说明该引理与“无旋场有势，无散场有矢势”的联系。

证明：设 $μ$ 为 p-form：

d (d μ) = \partial_{ν_{1}} \partial_{ν_{2}} μ_{ν_{3}, \dots, ν_{p + 2}} \vec{e_{ν_{1}}} \land \vec{e_{ν_{2}}} \land \dots \land \vec{e_{ν_{p + 2}}}

d (d μ)_{ν_{1} \dots ν_{p + 2}} = ϵ_{ν_{1} ν_{2} \dots ν_{p + 2}} \partial_{ν_{1}} \partial_{ν_{2}} μ_{ν_{3} \dots ν_{p + 2}} = 0

注：因为两个偏导数交换后Levi-Civita变号导致相消所以结果为0。

所以恰当的形式场一定是闭的。

证明梯度场无旋度：

取 $μ$ 为 0-form，则

d (d μ) = ϵ_{i j} \partial_{i} \partial_{j} μ = 0

∴ \nabla \times (\nabla μ) = ϵ_{i j k} \partial_{i} \partial_{j} μ \vec{e_{k}} = 0

证明旋度场无散度：

取 $μ$ 为 1-form，则

d (d μ) = ϵ_{i j k} \partial_{i} \partial_{j} μ_{k} = 0

∴ \nabla \cdot (\nabla \times \vec{μ}) = ϵ_{i j k} \partial_{k} \partial_{i} μ_{j} = 0

由于在单连通空间中，闭的形式场一定是恰当的，所以对于 $d ω = 0$ 而言。必定存在 $μ$ 使得 $d μ = ω$ 。

无旋场有势：取 $ω$ 为 1-form：

d ω = \partial_{i} ω_{j} \vec{e_{i}} \land \vec{e_{j}} = 0

∴ (\nabla \times \vec{ω})_{k} = ϵ_{i j k} \partial_{i} ω_{j} = (d ω)_{i j} = 0

此时，存在 0-form $μ$ 使得 $d μ = ω$ ，即

d μ = \partial_{i} μ \vec{e_{i}} = \vec{ω}

\vec{ω} = \nabla μ

无散场有矢势：取 $ω$ 为 2-form：

d ω = \frac{1}{2} \partial_{i} ω_{j k} \vec{e_{i}} \land \vec{e_{j}} \land \vec{e_{k}} = 0

\nabla \cdot (⋆ ω) = \partial_{i} \frac{1}{2} ϵ_{i j k} ω_{j k} = (d ω)_{i j k} = 0

此时，存在 1-form $μ$ 使得 $d μ = ω$ ，即

d μ = \partial_{i} μ_{j} \vec{e_{i}} \land \vec{e_{j}} = \frac{1}{2} ω_{i j} \vec{e_{i}} \land \vec{e_{j}}

∴ \nabla \times μ = ϵ_{i j k} \partial_{i} μ_{j} \vec{e_{k}} = \frac{1}{2} ϵ_{i j k} ω_{i j} \vec{e_{k}} = ⋆ ω

(6). 我们定义一个 $n$ -形式场 $ω$ 在一个 $n$ 维流形 $M$ 上的积分为 $\int_{M} ω = \int_{M} ω_{1 \dots n} (x_{1}, \dots, x_{n}) d x_{1} \dots d x_{n}$ （1.11）。在高维空间中，Stokes 定理和 Gauss 定理可以统一表述为： $\int_{M} d ω = \int_{\partial M} ω$ ，其中 $ω$ 是一个 $(p - 1)$ -形式， $d ω$ 是 $ω$ 的外微分，表示场的散度或旋度， $M$ 是一个 $p$ -维流形， $\partial M$ 是边界。试说明一般的 Stokes 定理在二维时如何回到我们熟悉的表述： $\oint_{\partial S} ω_{μ} \cdot d x^{μ} = \int_{S} (\partial_{1} ω_{2} - \partial_{2} ω_{1}) d x^{1} d x^{2}$ 。

取 $ω$ 为二维 1-form：

d ω = \partial_{i} ω_{j} \vec{e_{i}} \land \vec{e_{j}}

\int_{M} d ω = \int_{\partial M} ω

此时 $p = 2$ ，所以 $M$ 为一曲面：

∴ \int_{S} ϵ_{i j} \partial_{i} ω_{j} d x^{i} d x^{j} = \int_{\partial S} ω_{i} d x^{i}

即

\int_{\partial S} ω_{μ} d x^{μ} = \int_{S} (\partial_{1} ω_{2} - \partial_{2} ω_{1}) d x^{1} d x^{2}

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