费曼物理学（2） 第3次作业

Chasse_neige

1 介电系数 (石镇鹏)

量子力学提出以前，人们认为电子在绕着原子核转动，这个模型虽然已经被证明是错误的，但它仍然能够解决一些问题。本题尝试使用这个模型来计算氢原子在受到外加电场时，电子偏离轨道产生的电偶极矩。为了方便计算，我们忽略外电场与电子对质子的相互作用。同时，我们仅考虑在二维情况，即电子只在一个二维平面上做圆周运动。

(1). 为了简单起见，我们假设在受到电场作用之前，电子进行圆周运动，圆周运动半径为 $r_0=1$，且电子的电荷 $e=1$ 与质量 $m=1$。请在极坐标系下，写出此时电子的运动方程，并求解 (取 $\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}=1$)；

$$\ddot{r}-{\dot{\theta }}^{2}r=-\frac{1}{r^2}$$$$2\dot{\theta }\dot{r}+\ddot{\theta }r=0$$

(2). 在 $t=0$ 时刻，我们施加一个朝 x-轴的电场 $E$，请写出此时电子满足的运动方程；

$$\ddot{r}-{\dot{\theta }}^{2}r=-\frac{1}{r^2}+\frac{eE}{m}\cos \theta$$$$2\dot{\theta }\dot{r}+\ddot{\theta }r=-\frac{eE}{m}\sin \theta$$

(3). 对于一般的电场强度 $E$，电子的运动方程不易求解。因此我们考虑一个简单情形，即电场强度较弱 $ϵ=\frac{eE}{m}\ll 1$。此时，我们可以微扰求解我们的微分方程。具体而言，我们可以 Taylor 展开我们的运动方程：

$$r=r_0+ϵr_1(t)+{ϵ}^2{r}_2(t)+\cdots ,$$$$\theta ={\theta }_0+ϵ{\theta }_1(t)+{ϵ}^2{\theta }_2(t)+\cdots$$

请将上述展开带入 (2) 中的运动方程，并写出正比于 $ϵ$ 阶的微扰运动方程。

微扰后：

$$ϵ({\ddot{r}}_1-{\dot{\theta }}_0^2{r}_1-2{\dot{\theta }}_0{\dot{\theta }}_1{r}_0)=2ϵ\frac{r_1}{r_0^3}+ϵ\cos {\theta }_0$$$$ϵ(2{\dot{\theta }}_1{\dot{r}}_0+2{\dot{\theta }}_0{\dot{r}}_1+{\ddot{\theta }}_0{r}_1+{\ddot{\theta }}_1{r}_0)=-ϵ\sin {\theta }_0$$

所以一阶项对应的运动方程为：

$${\ddot{r}}_1-{\dot{\theta }}_0^2{r}_1-2{\dot{\theta }}_0{\dot{\theta }}_1{r}_0=2\frac{r_1}{r_0^3}+\cos {\theta }_0$$$$2{\dot{\theta }}_1{\dot{r}}_0+2{\dot{\theta }}_0{\dot{r}}_1+{\ddot{\theta }}_0{r}_1+{\ddot{\theta }}_1{r}_0=-\sin {\theta }_0$$

(4). 请给定的边界条件 $r_1=0$, ${\dot{r}}_1=0$, ${\theta }_1=0$, ${\dot{\theta }}_1=0$ 下，我们可以求解上述运动方程。假设我们仅考虑 $O(ϵ)$ 的贡献，请求解运动方程。取 $ϵ=0.01$，请画出电子在 2 个，4 个，8 个周期内的运动轨迹，并在 x-轴上轨迹相对于原轨道的偏移量。请计算在上述周期下，原子的平均电偶极矩。假设原子体密度为 $N$，请计算等效的相对介电常数。

带入 $r_0=1$， ${\theta }_0(t)=t$ 以及题给边界条件：

$${\ddot{r}}_1-r_1-2{\dot{\theta }}_1=2r_1+\cos t$$$$2{\dot{r}}_1+{\ddot{\theta }}_1=-\sin t$$

解得：

$$\begin{array}{rl}{r}_1(t)& =A\sin t+B\cos t+\frac{3}{2}t\sin t+C\\ {\theta }_1(t)& =-(2B+2)\sin t+2A\cos t+3t\cos t-\frac{3}{2}Ct+D\end{array}$$

利用边界条件待定系数，解得：

$$\begin{array}{c}B=2\\ C=-2\\ D=A=0\end{array}$$

所以解为：

$$\begin{array}{rl}{r}_1(t)& =2\cos t+\frac{3}{2}t\sin t-2\\ {\theta }_1(t)& =-6\sin t+3t\cos t+3t\end{array}$$

作图

$$\begin{array}{rl}r(t)& =1+0.01\times (2\cos t+\frac{3}{2}t\sin t-2)\\ \theta (t)& =t+0.01\times (-6\sin t+3t\cos t+3t)\end{array}$$

​

两个周期

四个周期

八个周期

平均偶极矩：

$$\begin{array}{c}<x>=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }(1+ϵ(2\cos t+\frac{3}{2}\sin t-2))\cos (t+ϵ(-6\sin t+3t\cos t+3t))\mathrm{d}t\\ \approx \frac{59}{8}ϵ\end{array}$$

所以原子平均偶极矩为 $\frac{59}{8}e{r}_0ϵ$

极化强度为 $\frac{59}{8}Ne{r}_0ϵ$

等效的相对介电常数为 $1+\frac{59}{8}\frac{N{e}^2{r}_0}{m{ϵ}_0}$

2 静电模拟 (12-1)

(1). 一强度密度为 $\rho$ 的无穷长直热源平行放置在热导率为 $K$ 的无限大均匀材料下距表面距离为 $a$ 的地方，忽略空气热导率，计算材料表面的温度分布。

进行电磁学的类比：

$$\mathrm{\nabla }\cdot (K\mathrm{\nabla }T)=-s$$$${\mathrm{\nabla }}^{2}T=-\frac{s}{K}$$

此处 $s$ 更改为线强度密度$\rho$ ，然后使用热像法：

表面上距离无穷长直热源向表面垂线垂足 $x$ 处的温度为

$$T(x)=-\frac{\rho }{\pi K}\ln \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{x^2}{2a^2}}+T(0)$$

3 规范对称性 (14-4)

(1). 电磁场与电磁势的关系为 $\overrightarrow{E}=-\mathrm{\nabla }\varphi -\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{A}$, $\overrightarrow{B}=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}$，证明在规范变换 $\varphi \to {\varphi }^{\prime }=\varphi -\frac{\partial }{\partial t}a$, $\overrightarrow{A}\to {\overrightarrow{A}}^{\prime }=\overrightarrow{A}+\mathrm{\nabla }a$ 下，电磁场保持不变，其中 $a$ 为任意函数。

证明：在规范变换后

$$\overrightarrow{E^{\prime }}=-\mathrm{\nabla }(\varphi -\frac{\partial }{\partial t}a)-\frac{\partial }{\partial t}(\overrightarrow{A}+\mathrm{\nabla }a)=-\mathrm{\nabla }\varphi -\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{E}$$$$\overrightarrow{B^{\prime }}=\mathrm{\nabla }\times (\overrightarrow{A}+\mathrm{\nabla }a)=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}=\overrightarrow{B}$$

所以规范变换并不会对场强产生影响

(2). 取定规范条件后，相当于对规范变换的函数 $a$ 做出了进一步限定，求出在库伦规范和洛伦茨规范下，$a$ 需要满足的方程。这些方程有非零解，故在取定规范后，电磁势并未被完全确定下来。

库伦规范：

$$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A}=0$$$$\mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{A}+\mathrm{\nabla }a)=0$$

所以 $a$满足

$${\mathrm{\nabla }}^{2}a=0$$

洛伦兹规范：

$$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\varphi =0$$$$\mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{A}+\mathrm{\nabla }a)=\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}(\varphi -\frac{\partial }{\partial t}a)$$

所以 $a$ 满足

$${\mathrm{\nabla }}^{2}a+\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}a=0$$

(3). 请用电磁场的微分形式解释规范对称性。

考虑四维势 $\mathbf{A}=(\overrightarrow{A},\frac{\varphi }{c})$，取度规为 $\left(\begin{array}{c}1,1,1,-1\end{array}\right)$

规范对称性就可以表示为 ${\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{A}+\mathrm{d}\psi$，其中 $\psi$为任意标量场，$\mathrm{d}$ 为外微分。

$$\mathbf{F}=\mathrm{d}\mathbf{A}$$

麦克斯韦方程组可以表示为

$$\begin{array}{c}\mathrm{d}\mathbf{F}=0\\ \mathrm{d}\star \mathbf{F}=\star \mathbf{J}\end{array}$$

由于规范变换后

$${\mathbf{F}}^{\prime }=\mathrm{d}{\mathbf{A}}^{\prime }=\mathrm{d}\mathbf{A}+\mathrm{d}\mathrm{d}\psi =\mathrm{d}\mathbf{A}=\mathbf{F}$$

电磁场张量不变，所以麦克斯韦方程组形式不变。

4 磁单极子

(1). 若磁单极子存在，麦克斯韦方程组需引入对称的磁荷和磁流。请用场强的微分形式表达修正后的麦克斯韦方程组。

修正后麦克斯韦方程组可以表示为：（其中下标 $e$ 表示电荷，下标 $m$ 表示磁荷）

$$\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}=\frac{{\rho }_e}{{ϵ}_0}\\ \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-{\overrightarrow{j}}_m-\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{B}\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{B}={\rho }_m\\ \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}={\mu }_0{\overrightarrow{j}}_e+{\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{E}\end{array}$$

(2). 若宇宙中的所有粒子所具有的电荷与磁荷之比都相同，请说明我们总可以对场和荷做一种旋转变换，使得旋转过后的场和荷仍然满足麦克斯韦方程组，且所有粒子的磁荷为 0。

证明：注意到麦克斯韦方程组可以写成形式

$$\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{E}+ic\overrightarrow{B})=\frac{1}{{ϵ}_0}({\rho }_e+i\sqrt{\frac{{ϵ}_0}{{\mu }_0}}{\rho }_m)\\ \mathrm{\nabla }\times (\overrightarrow{E}+ic\overrightarrow{B})=ic{\mu }_0({\overrightarrow{j}}_e+i\sqrt{\frac{{ϵ}_0}{{\mu }_0}}{\overrightarrow{j}}_m)+\frac{i}{c}\frac{\partial }{\partial t}(\overrightarrow{E}+ic\overrightarrow{B})\end{array}$$

所以对于场和荷做变换

$$\begin{array}{c}\overrightarrow{E^{\prime }}+ic\overrightarrow{B^{\prime }}=e^{i\theta }(\overrightarrow{E}+ic\overrightarrow{B})\\ {\rho }_e^{\prime }+i\sqrt{\frac{{ϵ}_0}{{\mu }_0}}{\rho }_m^{\prime }=e^{i\theta }({\rho }_e+i\sqrt{\frac{{ϵ}_0}{{\mu }_0}}{\rho }_m)\end{array}$$

之后麦克斯韦方程组形式不变。

若宇宙中的所有粒子所具有的电荷与磁荷之比都相同，即为 $\frac{q_e}{q_m}=k$，那么取上述变换中的 $\theta =-\arctan (\frac{1}{k}\sqrt{\frac{{ϵ}_0}{{\mu }_0}})$，则变换后所有粒子的磁荷均变为 $0$，并且麦克斯韦方程组任然成立。