复变函数 第11次作业

Chasse_neige

3.利用留数定理计算下面的积分

(a)

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^s}{(1+x^2{)}^2}dx,-1<s<3$$

函数支点为 $z=0$ 以及无穷远点。取割线为 $z=0$ 沿着 $x$ 轴正半轴指向无穷远点的直线，并且割线上岸宗量辐角为 $0$

取围道为沿着割线上下岸、半个原点的小圆弧以及整个大圆弧。

$$I(1-e^{i2\pi s})=2\pi i(\mathrm{Res}f(i)+\mathrm{Res}f(-i))=2\pi i(\frac{(s-1)i^{s+1}}{4}+\frac{(s-1)(-i{)}^{s+1}}{4})$$$$I=\frac{\pi (s-1)}{2}\frac{i^{s+2}-(-i{)}^{s+2}}{1-e^{i2\pi s}}=-\frac{\pi (s-1)}{2}\frac{\sin (\frac{s\pi }{2})}{\sin (s\pi )}=-\frac{\pi (s-1)}{4\cos (\frac{s\pi }{2})}$$

(b)

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{-p}}{1+2x\cos \theta +x^2}dx,-1<p<1,0<\theta <\pi$$

函数支点为 $z=0$ 以及无穷远点。取割线为 $z=0$ 沿着 $x$ 轴正半轴指向无穷远点的直线，并且割线上岸宗量辐角为 $0$

取围道为沿着割线上下岸、半个原点的小圆弧以及整个大圆弧。

$$I(1-e^{-i2\pi p})=2\pi i(\mathrm{Res}f(-e^{i\theta })+\mathrm{Res}f(-e^{-i\theta }))=2\pi i(\frac{e^{-ip(\theta +\pi )}}{-2i\sin \theta }+\frac{e^{ip(\theta +\pi )}}{2i\sin \theta })$$$$I=\frac{\pi }{\sin \theta }\frac{e^{ip(\theta +\pi )}-e^{-ip(\theta +\pi )}}{1-e^{-i2\pi p}}=\frac{\pi (\sin p\theta )}{\sin \theta \sin (p\pi )}$$

4.利用留数定理计算下面的积分

(b)

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^3+a^3}dx,a>0$$$$f(z)=\frac{\ln z}{z^3+a^3}$$

函数支点为 $z=0$ 以及无穷远点。取割线为 $z=0$ 沿着 $x$ 轴正半轴指向无穷远点的直线，并且割线上岸宗量辐角为 $0$

取围道为沿着割线上下岸、半个原点的小圆弧以及整个大圆弧，计算 $f$ 沿着围道的积分

$$\begin{array}{c}-2\pi i{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^3+a^3}dx=2\pi i(\mathrm{Res}f(a{e}^{i\frac{\pi }{3}})+\mathrm{Res}f(a{e}^{i\pi })+\mathrm{Res}f(a{e}^{i\frac{5\pi }{3}})))\\ =2\pi i(\frac{a+i\frac{\pi }{3}}{a^2(e^{i\frac{\pi }{3}}-e^{i\pi })(e^{i\frac{\pi }{3}}-e^{i\frac{5\pi }{3}})}+\frac{a+i\pi }{a^2(e^{i\pi }-e^{i\frac{\pi }{3}})(e^{i\pi }-e^{i\frac{5\pi }{3}})}+\frac{a+i\frac{5\pi }{3}}{a^2(e^{i\frac{5\pi }{3}}-e^{i\pi })(e^{i\frac{5\pi }{3}}-e^{i\frac{\pi }{3}})})\end{array}$$$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^3+a^3}dx=\frac{2\pi }{3\sqrt{3}{a}^2}$$

(d)

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln x}{x^2+a^2}dx,a>0$$$$f(z)=\frac{{\ln }^{2}z-2\pi i\ln z}{z^2+a^2}$$

函数支点为 $z=0$ 以及无穷远点。取割线为 $z=0$ 沿着 $x$ 轴正半轴指向无穷远点的直线，并且割线上岸宗量辐角为 $0$

取围道为沿着割线上下岸、半个原点的小圆弧以及整个大圆弧，计算 $f$ 沿着围道的积分

$$\begin{array}{c}-4\pi i{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln x}{x^2+a^2}dx=2\pi i(\mathrm{Res}f(ia)+\mathrm{Res}f(-ia))\\ =2\pi i(-\frac{\pi \ln a}{a})\end{array}$$$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln x}{x^2+a^2}dx=\frac{\pi \ln a}{2a}$$

5.利用留数定理计算下面的积分

(d)

$${\int }_0^1\frac{\sqrt[4]{x(1-x{)}^3}}{(1+x{)}^3}dx$$

函数支点为 $z=0$ 以及 $z=1$。取割线为 $z=0$ 沿着 $x$ 轴正半轴指向 $z=1$ 的线段，并且割线上岸宗量辐角为 $0$

取围道为沿着割线上下岸、半个原点的小圆弧、半个 $z=1$ 的小圆弧以及整个大圆弧，计算 $f$ 沿着围道的积分

$$I(1-i)=2\pi i\mathrm{Res}f(-1)$$$$I=\frac{2\pi i}{1-i}(-2^{\frac{3}{4}}\frac{3}{128}{e}^{i\frac{\pi }{4}})=\frac{3\pi }{64}{2}^{\frac{1}{4}}$$