复变函数 第4次作业

Chasse_neige

2.请计算如下积分

（1）

$${\int }_{|z|=1}\frac{\text{d}z}{z}$$$${\int }_{|z|=1}\frac{dz}{z}=2\pi i$$

（2）

$${\int }_{|z|=1}\frac{\text{d}z}{|z|}$$$${\int }_{|z|=1}\frac{dz}{|z|}={\int }_{|z|=1}dz=0$$

（3）

$${\int }_{|z|=1}\frac{|\text{d}z|}{z}$$$${\int }_{|z|=1}\frac{|dz|}{z}={\int }_{|z|=1}\frac{d\theta }{e^{i\theta }}=0$$

（4）

$${\int }_{|z|=1}\left|\frac{\text{d}z}{z}\right|$$$${\int }_{|z|=1}\left|\frac{dz}{z}\right|={\int }_{|z|=1}d\theta =2\pi$$

5.计算下列积分

（1）

$${\oint }_{|z|=2}\frac{\cos z}{z}\text{d}z$$$${\oint }_{|z|=2}\frac{\cos z}{z}dz=2\pi i\cos (0)=2\pi i$$

（2）

$${\oint }_{|z|=2}\frac{\sin z}{z^2}\text{d}z$$$${\oint }_{|z|=2}\frac{\sin z}{z^2}dz=\frac{2\pi i}{1!}{\sin }^{\prime }(0)=2\pi i$$

（3）

$${\oint }_{|z|=2}\frac{{\text{e}}^z}{z^3}\text{d}z$$$${\oint }_{|z|=2}\frac{e^z}{z^3}dz=\frac{2\pi i}{2!}{e}^{″0}=\pi i$$

（4）

$${\oint }_{|z|=2}\frac{|z|{\text{e}}^z}{z^2}\text{d}z$$$${\oint }_{|z|=2}\frac{|z|e^z}{z^2}dz=2{\oint }_{|z|=2}\frac{e^z}{z^2}dz=2\cdot 2\pi i{e}^{\prime 0}=4\pi i$$

6.对于什么样的 $a$ 值，函数

$$F(z)={\int }_{z_0}^z{\text{e}}^z(\frac{1}{z}+\frac{a}{z^3})\text{d}z$$

是单值的。

$$\oint e^z(\frac{1}{z}+\frac{a}{z^3})dz=0$$

即可保证该函数的单值性

当环路内包括$z=0$ 时

$$\oint e^z(\frac{1}{z}+\frac{a}{z^3})dz=2\pi i(e^0+\frac{1}{2!}a{e}^{\prime 0})=0$$

所以 $a=-2$

当环路内不包括 $z=0$ 时

$$\oint e^z(\frac{1}{z}+\frac{a}{z^3})dz=0+0=0$$

综上，$a=-2$

8.设 $f(z)$ 在一个包含圆域 $|z|\le R$ 的区域中解析，$\zeta =r{\text{e}}^{\text{i}\theta }$ 为圆内一点，$0\le r<R$，证明下式（Poisson 公式）成立

$$f(\zeta )=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos (\theta -\varphi )+r^2}f\left(R{\text{e}}^{\text{i}\varphi }\right)\text{d}\varphi$$

证明：设$z=R{e}^{i\varphi }$

$$\begin{array}{c}\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos (\theta -\varphi )+r^2}f\left(R{\text{e}}^{\text{i}\varphi }\right)\text{d}\varphi \\ =\frac{1}{2\pi }{\oint }_{|z|=R}\frac{R^2-r^2}{|\zeta -z{|}^2}f(\zeta )\frac{1}{iz}dz\\ =-i\frac{R^2-r^2}{2\pi }{\oint }_{|z|=R}\frac{f(z)}{z(z-\zeta )(\frac{R^2}{z}-\frac{r^2}{\zeta })}dz\\ =i\frac{R^2-r^2}{2\pi }{\oint }_{|z|=R}\frac{\frac{\zeta }{r^2}f(z)}{(z-\zeta )(z-\frac{R^2}{r^2}\zeta )}dz\\ =i\frac{R^2-r^2}{2\pi }\frac{\zeta }{r^2}\left(2\pi i\frac{f(\zeta )}{\zeta (1-\frac{R^2}{r^2})}\right)=f(\zeta )\end{array}$$