复变函数第3次作业

Chasse_neige

4.判断下列函数是否为多值函数, 若为多值函数, 请分析其支点的情况

(1) $\sqrt{1 - z^{3}}$

是多值函数

可能支点： $z = 1, z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i, z = \infty$

判断

(2) $\sqrt[3]{z^{2} - 1}$

是多值函数

可能支点： $z = 1, z = - 1, z = \infty$

判断

(3) $\sqrt{\cos z}$

是多值函数

可能支点： $\cos z = 0$ ，即 $z = \frac{π}{2} + k π$

判断

$z = \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$ ：此时 $z$ 绕行一圈后 $w$ 的辐角变化 $π$ ，是支点

(6) $\frac{\sin \sqrt{z}}{\sqrt{z}}$

是多值函数

可能支点： $\sin \sqrt{z} = 0$ ，即 $z = k^{2} π^{2}$

判断

5.函数 $w (z) = z + \sqrt{z - 1}$ , 规定 $w (2) = 1$ , 试分别求当 $z$ 沿着图中 $C 1$ 和 $C 2$ 连续变化时 $w (- 3)$ 的值

函数支点为 $z = 1$ 以及无穷远点，由于 $w (2) = 1$ ，所以函数在 $x$ 轴正半轴上辐角为 $2 π$

$z$ 沿着图中 $C 1$ 变化时

w (- 3) = 3 e^{i 3 π} + | \sqrt{- 3 - 1} | e^{i \frac{3 π}{2}} = - 3 - 2 i

$z$ 沿着图中 $C 2$ 变化时

w (- 3) = 3 e^{i π} + | \sqrt{- 3 - 1} | e^{i \frac{π}{2}} = - 3 + 2 i

7.函数 $\ln \frac{1 - z}{1 + z}$ , 规定 $w (0) = 0$ , 试讨论当 $z$ 分别限制在图 $(a)$ 和 $(b)$ 中变化时, $w (3)$ 为多少? $w (\infty)$ 又是多少?

当 $z$ 限制在图 $(a)$ 中变化时

w (3) = \ln (| \frac{1 - 3}{1 + 3} | e^{i (π - 0)}) = - \ln 2 + i π

w (\infty) = \ln (| - 1 | e^{i π}) = i π

当 $z$ 限制在图 $(b)$ 中变化时

w (3) = \ln (| \frac{1 - 3}{1 + 3} | e^{i (- π - 0)}) = - \ln 2 - i π

w (\infty) = \ln (| - 1 | e^{- i π}) = - i π

8.设 $f (z) = \frac{z^{1 - p} (1 - z)^{p}}{2 z}$ ， $- 1 < p < 2$ ，取割线为实轴上从 $0$ 到 $1$ 的线段，且割线上岸辐角为 $0$ 。试求 $f (\pm i)$ ， $f (\infty)$

f (i) = | \frac{i^{1 - p} (1 - i)^{p}}{2 i} | e^{i ((1 - p) \frac{π}{2} - p \frac{π}{4} - \frac{π}{2})} = 2^{\frac{p}{2} - 1} e^{- i p \frac{3 π}{4}}

f (- i) = | \frac{(- i)^{1 - p} (1 + i)^{p}}{- 2 i} | e^{i ((1 - p) \frac{3 π}{2} + p \frac{π}{4} - \frac{3 π}{2})} = 2^{\frac{p}{2} - 1} e^{- i p \frac{5 π}{4}}

f (\infty) = | \frac{1}{2} | e^{i (p (- π) - 0)} = \frac{1}{2} e^{- i p π}

复变函数 第3次作业 ​