数学物理方程 第10次作业

Chasse_neige

14.将下列函数按照球谐函数展开

(a) ${\sin }^2\theta {\cos }^2\phi$

首先，利用三角恒等式

$${\sin }^2\theta {\cos }^2\phi =\frac{1}{2}{\sin }^2\theta +\frac{1}{2}{\sin }^2\theta \cos 2\phi$$

通过球谐函数展开：

$${\sin }^2\theta {\cos }^2\phi =\frac{1}{3}\sqrt{4\pi }{Y}_0^0-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{4\pi }{5}}{Y}_2^0+\sqrt{\frac{2\pi }{15}}{Y}_2^2+\sqrt{\frac{2\pi }{15}}{Y}_2^{-2}$$

其中：

$Y_0^0=\frac{1}{\sqrt{4\pi }}$

$Y_2^0=\sqrt{\frac{5}{4\pi }}\cdot \frac{1}{2}(3{\cos }^2\theta -1)$

$Y_2^2=\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{\sin }^2\theta e^{i2\phi }$

$Y_2^{-2}=\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{\sin }^2\theta e^{-i2\phi }$

(b) $(1+\cos \theta )\sin \theta \cos \phi$

首先，展开函数：

$$(1+\cos \theta )\sin \theta \cos \phi =\sin \theta \cos \phi +\cos \theta \sin \theta \cos \phi$$

通过球谐函数展开：

$$(1+\cos \theta )\sin \theta \cos \phi =-\sqrt{\frac{2\pi }{3}}(Y_1^1-Y_1^{-1})-\sqrt{\frac{2\pi }{15}}(Y_2^1-Y_2^{-1})$$

其中：

$Y_1^1=-\sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \theta e^{i\phi }$

$Y_1^{-1}=\sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \theta e^{-i\phi }$

$Y_2^1=-\sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \theta \cos \theta e^{i\phi }$

$Y_2^{-1}=\sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \theta \cos \theta e^{-i\phi }$

15.求解如下定解问题

$$\begin{array}{c}{\mathrm{\nabla }}^{2}u=A+B{r}^2\sin 2\theta \cos \phi \\ u{\mid }_{r=a}=0\end{array}$$

由于方程线性，解由两部分组成：$u=u_1+u_2$，其中 $u_1$ 对应源项 $A$，$u_2$ 对应源项 $B{r}^2\sin 2\theta \cos \phi$。

对于 $u_1$：满足 ${\mathrm{\nabla }}^2{u}_1=A$，且 $u_1(a)=0$ 特解为 $u_1=\frac{A}{6}{r}^2$，添加齐次解满足边界条件

$$u_1=\frac{A}{6}(r^2-a^2)$$

对于 $u_2$：满足 ${\mathrm{\nabla }}^2{u}_2=B{r}^2\sin 2\theta \cos \phi$，且 $u_2(a)=0$ 假设 $u_2=v(r)(Y_2^1-Y_2^{-1})$，则 $B{r}^2\sin 2\theta \cos \phi =-\sqrt{\frac{8\pi }{15}}B{r}^2(Y_2^1-Y_2^{-1})$

所以

$${\mathrm{\nabla }}^2{u}_2=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2\frac{d}{dr}v(r))(Y_2^1-Y_2^{-1})-\frac{6}{r^2}v(r)(Y_2^1-Y_2^{-1})$$

得到

$$\frac{1}{r}\frac{d[}{d2}]r(rv)-\frac{6}{r^3}(rv)=-\sqrt{\frac{8\pi }{15}}B{r}^2$$

解得

$$v(r)=-\frac{1}{14}\sqrt{\frac{8\pi }{15}}B{r}^2(r^2-a^2)$$$$u_2=\frac{B}{14}{r}^2(r^2-a^2)\sin 2\theta \cos \phi$$

所以解为

$$u=\frac{A}{6}(r^2-a^2)+\frac{B}{14}{r}^2(r^2-a^2)\sin 2\theta \cos \phi$$