数学物理方程 第7次作业

Chasse_neige

3.求解下列方程在 $z=0$ 邻域内的两个级数解

(c)

$$z{w}^{\prime \prime }-z{w}^{\prime }+w=0$$

容易判断 $z=0$ 是方程正则奇点，所以带入试探解

$$w(z)=z^{\rho }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k{z}^k$$$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}z(\rho +k)(\rho +k-1)C_k{z}^{\rho +k-2}-z(\rho +k)C_k{z}^{\rho +k-1}+C_k{z}^{\rho +k}=0$$

得到递推公式为

$$(\rho +k+1)(\rho +k)C_{k+1}-(\rho +k)C_k+C_k=0$$$$C_{k+1}=\frac{\rho +k-1}{(\rho +k)(\rho +k+1)}{C}_k$$

以及指标方程

$$\rho (\rho -1)=0$$

(1) 当 $\rho =1$ 时

$$C_{k+1}=\frac{k}{(k+1)(k+2)}{C}_k$$

得到

$$C_k=0(k\ge 1)$$

得到第一个解

$$w_1(z)=z$$

(2) 当 $\rho =0$ 时

$$w(z)=gz\ln z+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k{z}^k$$

带入方程

$$w^{\prime }(z)=g(\ln z+1)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{C}_k{z}^{k-1}$$$$w^{″}(z)=\frac{g}{z}+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}k(k-1)C_k{z}^{k-2}$$

所以

$$g(1-z)+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}k(k-1)C_k{z}^{k-1}-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{C}_k{z}^k+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k{z}^k=0$$

所以

$$\begin{array}{c}{C}_0=-g\\ -g+2C_2-C_1+C_1=0\end{array}$$

即

$$C_0=-g,C_2=\frac{g}{2}$$

不妨取 $C_1=0$

递推关系为

$$\begin{array}{c}(k+1)k{C}_{k+1}-(k-1)C_k=0\\ C_{k+1}=\frac{k-1}{k(k+1)}{C}_k\end{array}$$

得到

$$C_k=\frac{k-2}{k(k-1)}\cdot \frac{k-3}{(k-1)(k-2)}\cdots \frac{1}{3\cdot 2}\frac{g}{2}=\frac{g}{(k!)(k-1)}$$

所以第二个解为

$$w_2(z)=z\ln z-1+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k-1}\frac{z^k}{k!}$$

(e)

$$w^{\prime \prime }+\frac{2}{z}{w}^{\prime }+m^{2}w=0$$

容易判断 $z=0$ 是方程正则奇点，所以带入试探解

$$w(z)=z^{\rho }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k{z}^k$$$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\rho +k)(\rho +k-1)C_k{z}^{\rho +k-2}+\frac{2}{z}(\rho +k)C_k{z}^{\rho +k-1}+m^2{C}_k{z}^{\rho +k}=0$$

得到递推公式为

$$(\rho +k)(\rho +k-1)C_k+2(\rho +k)C_k+m^2{C}_{k-2}=0$$$$C_k=-\frac{m^2}{(\rho +k)(\rho +k+1)}{C}_{k-2}$$

以及指标方程

$$\rho (\rho +1)=0$$

(1) 当 $\rho =0$ 时

$$C_k=-\frac{m^2}{(k+1)k}{C}_{k-2}$$

得到

$$\begin{array}{c}{C}_{2k}=(-1{)}^k\frac{m^2}{(2k+1)2k}\cdot \frac{m^2}{(2k-1)(2k-2)}\cdots \frac{m^2}{3\cdot 2}{C}_0\\ =(-1{)}^k\frac{m^{2k}}{(2k+1)!}{C}_0\end{array}$$$$\begin{array}{c}{C}_{2k+1}=(-1{)}^k\frac{m^2}{(2k+2)(2k+1)}\cdot \frac{m^2}{2k(2k-1)}\cdots \frac{m^2}{4\cdot 3}{C}_1\\ =(-1{)}^k\frac{2m^{2k}}{(2k+2)!}{C}_1\end{array}$$

注意此时的低次项的条件需要满足（这一神奇的条件来自 $\rho$ 等于小整数带来的低此项导数缺失）

$$C_1=0$$

所以得到第一个解

$$w_1(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{m^{2k}}{(2k+1)!}{z}^{2k}=\frac{\sin (mz)}{mz}$$

最后一步是注意到的。

(2) 当 $\rho =-1$ 时，利用递推公式中的 $C_m$ 项容易判断第二个解不存在对数项。

直接带入

$$C_k=-\frac{m^2}{k(k-1)}{C}_{k-2}$$

所以

$$C_1=0$$$$C_{2k}=(-1{)}^k\frac{m^{2k}}{(2k)!}{C}_0$$

所以第二个解为

$$w_2(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{m^{2k}}{(2k)!}{z}^{2k-1}=\frac{\cos (mz)}{z}$$

6.试求下列方程在无穷远点邻域内的展开的主项

(a)

$$w^{″}+(\lambda -\alpha z^2-\beta z^4)w=0$$

假设 $w(z)=e^{S(z)}$

所以

$$\begin{array}{c}{w}^{\prime }(z)=S^{\prime }(z)e^{S(z)}\\ w^{″}(z)=S^{″}(z)e^{S(z)}+S^{\prime 2}(z)e^{S(z)}\end{array}$$

所以方程化为

$$S^{″}+S^{\prime 2}+\lambda -\alpha z^2-\beta z^4=0$$$$\begin{array}{c}{S}_0^{\prime 2}=\beta z^4\\ S_0^{\prime }=\pm \sqrt{\beta }{z}^2\end{array}$$

得到 $0$ 阶

$$S_0(z)=\pm \frac{\sqrt{\beta }}{3}{z}^3$$$$S(z)=\pm \frac{\sqrt{\beta }}{3}{z}^3+S_1(z)$$

带入

$$\pm 2\sqrt{\beta }z+S_1^{″}+(\pm \sqrt{\beta }{z}^2+S_1^{\prime }{)}^2+\lambda -\alpha z^2-\beta z^4=0$$

得到

$$\begin{array}{c}{S}_1^{\prime 2}\pm 2\sqrt{\beta }{z}^2{S}_1^{\prime }+\beta z^4-\alpha z^2-\beta z^4=0\\ S_1^{\prime }=\pm \frac{\alpha }{2\sqrt{\beta }}\end{array}$$

得到

$$S_1(z)=\pm \frac{\alpha }{2\sqrt{\beta }}z$$

继续考虑

$$S=\pm (\frac{\sqrt{\beta }}{3}{z}^3+\frac{\alpha }{2\sqrt{\beta }}z)+S_2(z)$$

于是

$$\pm 2\sqrt{\beta }z+S_2^{″}+{(\pm (\sqrt{\beta }{z}^2+\frac{\alpha }{2\sqrt{\beta }})+S_2^{\prime })}^2+\lambda -\alpha z^2-\beta z^4=0$$

所以

$$\pm 2\sqrt{\beta }z+S_2^{″}+S_2^{\prime 2}+(\sqrt{\beta }{z}^2+\frac{\alpha }{2\sqrt{\beta }}{)}^2\pm 2(\sqrt{\beta }{z}^2+\frac{\alpha }{2\sqrt{\beta }})S_2^{\prime }+\lambda -\alpha z^2-\beta z^4=0$$$$\pm 2\sqrt{\beta }z+S_2^{″}+S_2^{\prime 2}+\frac{{\alpha }^2}{4\beta }\pm 2\sqrt{\beta }{z}^2{S}_2^{\prime }\pm \frac{\alpha }{\sqrt{\beta }}{S}_2^{\prime }+\lambda =0$$

保留同阶项，得到

$$\pm 2\sqrt{\beta }{z}^2{S}_2^{\prime }=\mp 2\sqrt{\beta }z$$$$S_2^{\prime }=-\frac{1}{z}$$

所以

$$S_2=-\ln z$$

得到主项为

$$e^S=e^{\pm (\frac{\sqrt{\beta }}{3}{z}^3+\frac{\alpha }{2\sqrt{\beta }}z)-\ln z}=\frac{e^{\pm (\frac{\sqrt{\beta }}{3}{z}^3+\frac{\alpha }{2\sqrt{\beta }}z)}}{z}$$