数学物理方程 第6次作业

Chasse_neige

2.求解下列方程在 $z=0$ 邻域内的两个级数解

(a)

$$w^{\prime \prime }-z^{2}w=0$$

显然 $z=0$ 不是奇点，带入级数解的形式

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k(k-1)C_k{z}^{k-2}-z^2{C}_k{z}^k=0$$

所以得到递推关系

$$\begin{array}{c}k(k-1)C_k=C_{k-4}\\ C_k=\frac{1}{k(k-1)}{C}_{k-4}\end{array}$$

所以得到

$$C_2=C_3=0$$$$\begin{array}{c}{C}_{4k}=\frac{1}{4k\cdot (4k-1)\cdot 4(k-1)\cdot (4(k-1)-1)\cdots 4\cdot 3}{C}_0\\ =\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{4})}{2^{4k}\mathrm{\Gamma }(k+1)\mathrm{\Gamma }(k+\frac{3}{4})}{C}_0\end{array}$$$$\begin{array}{c}{C}_{4k+1}=\frac{1}{(4k+1)\cdot 4k\cdot (4(k-1)+1)\cdot 4(k-1)\cdots 5\cdot 4}{C}_1\\ =\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{5}{4})}{2^{4k}\mathrm{\Gamma }(k+\frac{5}{4})\mathrm{\Gamma }(k+1)}{C}_1\end{array}$$

所以两个解为

$$w_1(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{4})}{2^{4k}\mathrm{\Gamma }(k+1)\mathrm{\Gamma }(k+\frac{3}{4})}{z}^{4k}$$$$w_2(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{5}{4})}{2^{4k}\mathrm{\Gamma }(k+\frac{5}{4})\mathrm{\Gamma }(k+1)}{z}^{4k+1}$$

(c)

$$(z^2-1)w^{\prime \prime }+z{w}^{\prime }-w=0$$

显然 $z=0$ 不是奇点，带入级数解的形式

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(z^2-1)k(k-1)C_k{z}^{k-2}+k{C}_k{z}^k-C_k{z}^k=0$$

所以递推公式满足

$$\begin{array}{c}k(k-1)C_k-(k+2)(k+1)C_{k+2}+k{C}_k-C_k=0\\ (k^2-1)C_k=(k+2)(k+1)C_{k+2}\\ (k-1)C_k=(k+2)C_{k+2}\end{array}$$

所以

$$C_{k+2}=\frac{k-1}{k+2}{C}_k$$

带入

$$\begin{array}{c}{C}_{2k}=\frac{2k-3}{2k}\cdot \frac{2k-5}{2k-2}\cdots \frac{-1}{2}{C}_0\\ =\frac{\mathrm{\Gamma }(k-\frac{1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(k+1)\mathrm{\Gamma }(-\frac{1}{2})}{C}_0\end{array}$$$$C_{2k+1}=\frac{2k-2}{2k+1}\cdot \frac{2k-4}{2k-1}\cdots \frac{0}{3}{C}_1=0(k\ge 1)$$

所以得到两个解为

$$w_1(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(k-\frac{1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(k+1)\mathrm{\Gamma }(-\frac{1}{2})}{z}^{2k}$$$$w_2=z$$

3.求解下列方程在 $z=0$ 邻域内的两个级数解

(c)

$$z{w}^{\prime \prime }-z{w}^{\prime }+w=0$$

容易判断 $z=0$ 是方程正则奇点，所以带入试探解

$$w(z)=z^{\rho }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k{z}^k$$$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}z(\rho +k)(\rho +k-1)C_k{z}^{\rho +k-2}-z(\rho +k)C_k{z}^{\rho +k-1}+C_k{z}^{\rho +k}=0$$

得到递推公式为

$$(\rho +k+1)(\rho +k)C_{k+1}-(\rho +k)C_k+C_k=0$$$$C_{k+1}=\frac{\rho +k-1}{(\rho +k)(\rho +k+1)}{C}_k$$

以及指标方程

$$\rho (\rho -1)=0$$

(1) 当 $\rho =1$ 时

$$C_{k+1}=\frac{k}{(k+1)(k+2)}{C}_k$$

得到

$$C_k=0(k\ge 1)$$

得到第一个解

$$w_1(z)=z$$

(2) 当 $\rho =0$ 时

$$w(z)=gz\ln z+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k{z}^k$$

带入方程

$$w^{\prime }(z)=g(\ln z+1)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{C}_k{z}^{k-1}$$$$w^{″}(z)=\frac{g}{z}+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}k(k-1)C_k{z}^{k-2}$$

所以

$$g(1-z)+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}k(k-1)C_k{z}^{k-1}-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{C}_k{z}^k+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k{z}^k=0$$

所以

$$\begin{array}{c}{C}_0=-g\\ -g+2C_2-C_1+C_1=0\end{array}$$

即

$$C_0=-g,C_2=\frac{g}{2}$$

不妨取 $C_1=0$

递推关系为

$$\begin{array}{c}(k+1)k{C}_{k+1}-(k-1)C_k=0\\ C_{k+1}=\frac{k-1}{k(k+1)}{C}_k\end{array}$$

得到

$$C_k=\frac{k-2}{k(k-1)}\cdot \frac{k-3}{(k-1)(k-2)}\cdots \frac{1}{3\cdot 2}\frac{g}{2}=\frac{g}{(k!)(k-1)}$$

所以第二个解为

$$w_2(z)=z\ln z-1+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k-1}\frac{z^k}{k!}$$

(e)

$$w^{\prime \prime }+\frac{2}{z}{w}^{\prime }+m^{2}w=0$$

容易判断 $z=0$ 是方程正则奇点，所以带入试探解

$$w(z)=z^{\rho }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k{z}^k$$$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\rho +k)(\rho +k-1)C_k{z}^{\rho +k-2}+\frac{2}{z}(\rho +k)C_k{z}^{\rho +k-1}+m^2{C}_k{z}^{\rho +k}=0$$

得到递推公式为

$$(\rho +k)(\rho +k-1)C_k+2(\rho +k)C_k+m^2{C}_{k-2}=0$$$$C_k=-\frac{m^2}{(\rho +k)(\rho +k+1)}{C}_{k-2}$$

以及指标方程

$$\rho (\rho +1)=0$$

(1) 当 $\rho =0$ 时

$$C_k=-\frac{m^2}{(k+1)k}{C}_{k-2}$$

得到

$$\begin{array}{c}{C}_{2k}=(-1{)}^k\frac{m^2}{(2k+1)2k}\cdot \frac{m^2}{(2k-1)(2k-2)}\cdots \frac{m^2}{3\cdot 2}{C}_0\\ =(-1{)}^k\frac{m^{2k}}{(2k+1)!}{C}_0\end{array}$$$$\begin{array}{c}{C}_{2k+1}=(-1{)}^k\frac{m^2}{(2k+2)(2k+1)}\cdot \frac{m^2}{2k(2k-1)}\cdots \frac{m^2}{4\cdot 3}{C}_1\\ =(-1{)}^k\frac{2m^{2k}}{(2k+2)!}{C}_1\end{array}$$

注意此时的低次项的条件需要满足（这一神奇的条件来自 $\rho$ 等于小整数带来的低此项导数缺失）

$$C_1=0$$

所以得到第一个解

$$w_1(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{m^{2k}}{(2k+1)!}{z}^{2k}=\frac{\sin (mz)}{mz}$$

最后一步是注意到的。

(2) 当 $\rho =-1$ 时，利用递推公式中的 $C_m$ 项容易判断第二个解不存在对数项。

直接带入

$$C_k=-\frac{m^2}{k(k-1)}{C}_{k-2}$$

所以

$$C_1=0$$$$C_{2k}=(-1{)}^k\frac{m^{2k}}{(2k)!}{C}_0$$

所以第二个解为

$$w_2(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{m^{2k}}{(2k)!}{z}^{2k-1}=\frac{\cos (mz)}{z}$$