数学物理方程 第15次作业

Chasse_neige

1.试求一维问题的格林函数

$$\{\begin{array}{l}\frac{{\mathrm{d}}^{2}G(x;x^{\prime })}{\mathrm{d}{x}^2}+{\omega }_0^{2}G(x;x^{\prime })=\delta (x-x^{\prime }),0<x,x^{\prime }<l\\ G(0;x^{\prime })=0,G(l;x^{\prime })=0\end{array}$$

并利用格林函数求解定解问题

$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime \prime }(x)+{\omega }_0^{2}y(x)=f(x),0<x<l\\ y(0)=a,y(l)=b\end{array}$$

求解格林函数

所求方程为

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}G(x;x^{\prime })}{\mathrm{d}{x}^2}+{\omega }_0^{2}G(x;x^{\prime })=\delta (x-x^{\prime }),0<x,x^{\prime }<l$$

当 $x\ne x^{\prime }$ 时，方程为齐次方程 $G^{″}+{\omega }_0^{2}G=0$，其通解形式为 $C_1\sin ({\omega }_{0}x)+C_2\cos ({\omega }_{0}x)$。

(1) 在区间 $0<x<x^{\prime }$ 上，满足 $G(0)=0$ 的解的形式为：

$$G_1(x)=A\sin ({\omega }_{0}x)$$

(2) 在区间 $x^{\prime }<x<l$ 上，满足 $G(l)=0$ 的解的形式为

$$G_2(x)=B\sin ({\omega }_0(l-x))$$

(3) 在 $x=x^{\prime }$ 处，$G$ 必须连续

$$A\sin ({\omega }_0{x}^{\prime })=B\sin ({\omega }_0(l-x^{\prime }))$$

由此得出 $B$ 与 $A$ 的关系

$$B=A\frac{\sin ({\omega }_0{x}^{\prime })}{\sin ({\omega }_0(l-x^{\prime }))}$$

(4) 在 $x=x^{\prime }$ 处，$G$ 的一阶导数有跃变，跃变度为 1

$${\frac{d{G}_2}{dx}|}_{x=x^{\prime }}-{\frac{d{G}_1}{dx}|}_{x=x^{\prime }}=1$$

计算导数并代入

$$-B{\omega }_0\cos ({\omega }_0(l-x^{\prime }))-A{\omega }_0\cos ({\omega }_0{x}^{\prime })=1$$

将 $B$ 的表达式代入上式

$$-A\frac{\sin ({\omega }_0{x}^{\prime })}{\sin ({\omega }_0(l-x^{\prime }))}{\omega }_0\cos ({\omega }_0(l-x^{\prime }))-A{\omega }_0\cos ({\omega }_0{x}^{\prime })=1$$

提取公因式 $-A{\omega }_0/\sin ({\omega }_0(l-x^{\prime }))$ 并整理括号内的项

$$-A{\omega }_0\frac{\sin ({\omega }_0{x}^{\prime })\cos ({\omega }_0(l-x^{\prime }))+\cos ({\omega }_0{x}^{\prime })\sin ({\omega }_0(l-x^{\prime }))}{\sin ({\omega }_0(l-x^{\prime }))}=1$$

利用三角恒等式 $\sin (\alpha +\beta )$，分子化简为 $\sin ({\omega }_{0}l)$

$$-A{\omega }_0\frac{\sin ({\omega }_{0}l)}{\sin ({\omega }_0(l-x^{\prime }))}=1$$

解得系数 $A$

$$A=-\frac{\sin ({\omega }_0(l-x^{\prime }))}{{\omega }_0\sin ({\omega }_{0}l)}$$

代回可求得 $B$

$$B=-\frac{\sin ({\omega }_0{x}^{\prime })}{{\omega }_0\sin ({\omega }_{0}l)}$$

综上，格林函数可以写为统一形式，令 $x_{<}=min(x,x^{\prime }),x_{>}=max(x,x^{\prime })$

$$G(x;x^{\prime })=-\frac{\sin ({\omega }_0{x}_{<})\sin ({\omega }_0(l-x_{>}))}{{\omega }_0\sin ({\omega }_{0}l)}$$

利用格林函数求解定解问题

定解问题为

$$y^{\prime \prime }(x)+{\omega }_0^{2}y(x)=f(x),y(0)=a,y(l)=b$$

利用格林公式，即 Lagrange 恒等式在区间上的积分

$${\int }_0^l[G(x;x^{\prime })L_{x^{\prime }}y(x^{\prime })-y(x^{\prime })L_{x^{\prime }}G(x;x^{\prime })]\mathrm{d}{x}^{\prime }={[G(x;x^{\prime })\frac{\mathrm{d}y(x^{\prime })}{\mathrm{d}{x}^{\prime }}-y(x^{\prime })\frac{\partial G(x;x^{\prime })}{\partial x^{\prime }}]}_{x^{\prime }=0}^{x^{\prime }=l}$$

其中算子 $L=\frac{d^2}{d{x}^2}+{\omega }_0^2$。代入方程 $Ly=f$ 和 $LG=\delta (x-x^{\prime })$

$${\int }_0^l[G(x;x^{\prime })f(x^{\prime })-y(x^{\prime })\delta (x^{\prime }-x)]\mathrm{d}{x}^{\prime }={[G(x;x^{\prime })y^{\prime }(x^{\prime })-y(x^{\prime })\frac{\partial G}{\partial x^{\prime }}]}_0^l$$

利用 $\delta$ 函数的筛选性质，以及 $G$ 在边界为零的条件 $G(x;0)=G(x;l)=0$，并代入 $y$ 的边界值

$${\int }_0^{l}G(x;x^{\prime })f(x^{\prime })\mathrm{d}{x}^{\prime }-y(x)=-y(l)\frac{\partial G(x;x^{\prime })}{\partial x^{\prime }}{|}_{x^{\prime }=l}+y(0)\frac{\partial G(x;x^{\prime })}{\partial x^{\prime }}{|}_{x^{\prime }=0}$$

移项整理得到解的表达式

$$y(x)={\int }_0^{l}G(x;x^{\prime })f(x^{\prime })\mathrm{d}{x}^{\prime }+b\frac{\partial G(x;x^{\prime })}{\partial x^{\prime }}{|}_{x^{\prime }=l}-a\frac{\partial G(x;x^{\prime })}{\partial x^{\prime }}{|}_{x^{\prime }=0}$$

计算边界上的法向导数 当 $x^{\prime }\to l$ 时，使用 $x<x^{\prime }$ 的分支

$$\frac{\partial G}{\partial x^{\prime }}{|}_{x^{\prime }=l}=\frac{\partial }{\partial x^{\prime }}(-\frac{\sin ({\omega }_{0}x)\sin ({\omega }_0(l-x^{\prime }))}{{\omega }_0\sin ({\omega }_{0}l)}){|}_{x^{\prime }=l}=\frac{\sin ({\omega }_{0}x)}{\sin ({\omega }_{0}l)}$$

当 $x^{\prime }\to 0$ 时，使用 $x>x^{\prime }$ 的分支

$$\frac{\partial G}{\partial x^{\prime }}{|}_{x^{\prime }=0}=\frac{\partial }{\partial x^{\prime }}(-\frac{\sin ({\omega }_0(l-x))\sin ({\omega }_0{x}^{\prime })}{{\omega }_0\sin ({\omega }_{0}l)}){|}_{x^{\prime }=0}=-\frac{\sin ({\omega }_0(l-x))}{\sin ({\omega }_{0}l)}$$

最终解为

$$y(x)={\int }_0^{l}G(x;x^{\prime })f\left(x^{\prime }\right)\mathrm{d}{x}^{\prime }+b\frac{\sin \left({\omega }_{0}x\right)}{\sin \left({\omega }_{0}l\right)}+a\frac{\sin ({\omega }_0(l-x))}{\sin \left({\omega }_{0}l\right)}$$

2.试求一维问题的格林函数

$$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}G(t^{\prime };t)}{\mathrm{d}t}-\beta G(t^{\prime };t)=-\delta (t-t^{\prime }),t,t^{\prime }>0\\ {G(t^{\prime };t)|}_{t>t^{\prime }}=0\end{array}$$

并利用格林函数求解定解问题

$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(t)+\beta y(t)=g(t),t>0\\ y(0)=a\end{array}$$

所求方程为

$$\frac{\mathrm{d}G(t;t^{\prime })}{\mathrm{d}t}-\beta G(t;t^{\prime })=\delta (t-t^{\prime }),t,t^{\prime }>0$$

(1) 当 $t<t^{\prime }$ 时，由条件知 $G=0$ (2) 当 $t>t^{\prime }$ 时，方程变为齐次方程 $\frac{dG}{dt}-\beta G=0$，解为 $G=C{e}^{\beta t}$ (3) 在 $t=t^{\prime }$ 处积分原方程

$${\int }_{t^{\prime }-ϵ}^{t^{\prime }+ϵ}(\frac{dG}{dt}-\beta G)\mathrm{d}t=1⟹G(t^{\prime }+;t^{\prime })-G(t^{\prime }-;t^{\prime })=1$$

由于 $G(t^{\prime }-)=0$，故 $G(t^{\prime }+)=1$ 由 $C{e}^{\beta t^{\prime }}=1$ 得 $C=e^{-\beta t^{\prime }}$

所以格林函数为

$$\begin{array}{c}G(t;t^{\prime })=\theta (t^{\prime }-t)e^{\beta (t-t^{\prime })}\\ {G(t;t^{\prime })|}_{t>t^{\prime }}=0\end{array}$$

其中 $\theta$ 为阶跃函数。利用格林函数求解定解问题

$$\begin{array}{c}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}y(t)(\frac{d}{dt}-\beta )G(t;t^{\prime })+G(t;t^{\prime })(\frac{d}{dt}+\beta )y(t)\mathrm{d}t\\ =-y(t^{\prime })+{\int }_0^{t^{\prime }}{e}^{\beta (t-t^{\prime })}g(t)\mathrm{d}t\\ ={y(t)G(t;t^{\prime })|}_0^{\mathrm{\infty }}=-a{e}^{-\beta t^{\prime }}\end{array}$$

所以

$$y(t)=a{e}^{-\beta t}+{\int }_0^t{e}^{\beta (\tau -t)}g(\tau )\mathrm{d}\tau$$

3.求解矩形区域内的格林函数

$$\{\begin{array}{l}{\mathrm{\nabla }}^{2}G(x,y;x^{\prime },y^{\prime })=-\delta (x-x^{\prime })\delta (y-y^{\prime })\\ G|{}_{x=0}=0,G{|}_{x=a}=0\\ G|{}_{y=0}=0,G{|}_{y=b}=0\end{array}$$

并用该格林函数形式上给出定解问题

$$\{\begin{array}{l}{\mathrm{\nabla }}^{2}u(x,y)=f(x,y)\\ u|{}_{x=0}=\alpha (y),u{|}_{x=a}=\beta (y)\\ u|{}_{y=0}=\mu (x),u{|}_{y=b}=\nu (x)\end{array}$$

所求方程为二维 Poisson 方程

$${\mathrm{\nabla }}^{2}G(x,y;x^{\prime },y^{\prime })=-\delta (x-x^{\prime })\delta (y-y^{\prime })$$

边界条件为矩形边界上 $G=0$。采用本征函数展开法。 矩形区域 Dirichlet 问题的本征函数为

$${\varphi }_{nm}(x,y)=\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right)\sin \left(\frac{m\pi y}{b}\right)$$

对应的本征值 $k_{nm}^2=(n\pi /a{)}^2+(m\pi /b{)}^2$ 将 $\delta$ 函数展开

$$\delta (x-x^{\prime })\delta (y-y^{\prime })=\frac{4}{ab}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sin \left(\frac{n\pi x^{\prime }}{a}\right)\sin \left(\frac{m\pi y^{\prime }}{b}\right)\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right)\sin \left(\frac{m\pi y}{b}\right)$$

设 $G=\sum C_{nm}{\varphi }_{nm}$，代入方程得 $C_{nm}=\frac{4}{ab}\frac{{\varphi }_{nm}(x^{\prime },y^{\prime })}{k_{nm}^2}$

格林函数为

$$G(x,y;x^{\prime },y^{\prime })=\frac{4}{ab}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right)\sin \left(\frac{m\pi y}{b}\right)\sin \left(\frac{n\pi x^{\prime }}{a}\right)\sin \left(\frac{m\pi y^{\prime }}{b}\right)}{{\left(\frac{n\pi }{a}\right)}^2+{\left(\frac{m\pi }{b}\right)}^2}$$

定解问题

$${\mathrm{\nabla }}^{2}u(x,y)=f(x,y)$$

边界条件：$u{|}_{x=0}=\alpha ,u{|}_{x=a}=\beta ,u{|}_{y=0}=\mu ,u{|}_{y=b}=\nu$

利用格林第二公式

$${\iint }_D(u{\mathrm{\nabla }}^{2}G-G{\mathrm{\nabla }}^{2}u)\mathrm{d}{x}^{\prime }\mathrm{d}{y}^{\prime }={\oint }_{\partial D}(u\frac{\partial G}{\partial n^{\prime }}-G\frac{\partial u}{\partial n^{\prime }})\mathrm{d}{l}^{\prime }$$

代入方程性质及 $G$ 在边界为 0 的条件，并注意外法线方向 ${\hat{n}}^{\prime }$

$$-u(x,y)-{\iint }_{D}Gf\mathrm{d}{x}^{\prime }\mathrm{d}{y}^{\prime }={\oint }_{\partial D}u(x^{\prime },y^{\prime })\frac{\partial G}{\partial n^{\prime }}\mathrm{d}{l}^{\prime }$$

解的形式为

$$u(x,y)=-{\iint }_{D}G(x,y;x^{\prime },y^{\prime })f(x^{\prime },y^{\prime })\mathrm{d}{x}^{\prime }\mathrm{d}{y}^{\prime }-{\oint }_{\partial D}u(x^{\prime },y^{\prime })\frac{\partial G(x,y;x^{\prime },y^{\prime })}{\partial n^{\prime }}\mathrm{d}{l}^{\prime }$$

具体写出边界积分项

$$\begin{array}{rl}u(x,y)=& -{\int }_0^a{\int }_0^{b}Gf\mathrm{d}{x}^{\prime }\mathrm{d}{y}^{\prime }\\ & +{\int }_0^b\alpha \left(y^{\prime }\right){\frac{\partial G}{\partial x^{\prime }}|}_{x^{\prime }=0}\mathrm{d}{y}^{\prime }-{\int }_0^b\beta \left(y^{\prime }\right){\frac{\partial G}{\partial x^{\prime }}|}_{x^{\prime }=a}\mathrm{d}{y}^{\prime }\\ & +{\int }_0^a\mu \left(x^{\prime }\right){\frac{\partial G}{\partial y^{\prime }}|}_{y^{\prime }=0}\mathrm{d}{x}^{\prime }-{\int }_0^a\nu \left(x^{\prime }\right){\frac{\partial G}{\partial y^{\prime }}|}_{y^{\prime }=b}\mathrm{d}{x}^{\prime }\end{array}$$