数学物理方程 第5次作业

Chasse_neige

1.无限长空心圆柱导体半径为 $a$, 分成两半且相互绝缘, 一半电势为 $V$, 另外一半电势为 $-V$, 求柱内电势分布.

柱内空间满足拉普拉斯方程

$$\begin{array}{c}{\mathrm{\nabla }}^2\varphi =0\\ \varphi (r,0,z)=\varphi (r,2\pi ,z){\varphi |}_{r=0}\text{有界}\end{array}$$$$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r\frac{\partial }{\partial r}\varphi )+\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial {\theta }^2}\varphi +\frac{\partial }{\partial z^2}\varphi =0$$

直接分离变量

$$\varphi (r,\theta ,z)=w(r,\theta )Z(z)$$

得到

$$\frac{1}{wr}\frac{\partial }{\partial r}(r\frac{\partial }{\partial r}w)+\frac{1}{w{r}^2}\frac{\partial }{\partial {\theta }^2}w=-\frac{1}{Z}\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{z}^2}Z=\lambda$$

由于问题在 $z$ 方向具有对称性，所以 $\varphi$ 不含 $z$ ，得到 $\lambda =0$。继续分离变量

$$w(r,\theta )=R(r)\mathrm{\Theta }(\theta )$$$$\frac{r}{R}\frac{d}{dr}(r\frac{d}{dr}R)=-\frac{1}{\mathrm{\Theta }}\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{\theta }^2}\mathrm{\Theta }=\alpha$$$${\mathrm{\Theta }}^{″}=-\alpha \mathrm{\Theta }$$$$r^2{R}^{″}+r{R}^{\prime }=\alpha R$$

解得特征函数

$$\mathrm{\Theta }(\theta )=A\sin (\sqrt{\alpha }\theta )+B\cos (\sqrt{\alpha }\theta )$$$$R(r)=C{r}^{{\lambda }_{+}}+D{r}^{{\lambda }_{-}}$$

其中 ${\lambda }_{\pm }$ 为特征方程 $\lambda (\lambda -1)+\lambda =\alpha$ 的解

$$R(r)=C{r}^{\sqrt{\alpha }}+D{r}^{-\sqrt{\alpha }}$$

由循环边界条件，得到

$$\sqrt{\alpha }\in \mathbb{Z}$$

特别的，当 $\sqrt{\alpha }=0$ 时，径向函数为

$$R(r)=E+F\ln r$$

由原点处电势不发散，得到

$$D=F=0$$

所以

$$\varphi (r,\theta )=C+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(A_n\sin (n\theta )+B_n\cos (n\theta ))r^n$$

不妨假设两半的分界线处为 $\theta =0$，所以解中只应该存在正弦函数

$$\varphi (r,\theta )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\sin (n\theta )r^n$$

带入边界

$$\varphi (R,\theta )=\{\begin{array}{l}V(0\le \theta \le \pi )\\ -V(\pi \le \theta \le 2\pi )\end{array}$$

利用三角函数的正交性确定系数

$$\begin{array}{c}\pi A_n{a}^n={\int }_0^{\pi }V\sin (n\theta )\mathrm{d}\theta +{\int }_{\pi }^{2\pi }-V\sin (n\theta )\mathrm{d}\theta \\ =\frac{V}{n}(1-(-1{)}^n)+\frac{V}{n}(1-(-1{)}^n)=\frac{2V}{n}(1-(-1{)}^n)\end{array}$$

得到

$$A_n=\frac{2V(1-(-1{)}^n)}{\pi n{a}^n}$$

所以柱内电势分布为

$$\begin{array}{c}\varphi (r,\theta )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2V(1-(-1{)}^n)}{\pi n}{\left(\frac{r}{a}\right)}^n\sin (n\theta )\\ =\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{4V}{(2m+1)\pi }{\left(\frac{r}{a}\right)}^{2m+1}\sin (2m+1)\theta \end{array}$$

2.试求扇形区域 $0\le r\le a$, $0\le \phi \le \pi /3$ 内稳定温度分布. 已知该区域内无热源, 扇形之边保持温度为 0, 弧形变上保持温度为 $f(\varphi )$.

由于区域内无热源，在稳定温度分布下热传导方程的形式等价与拉普拉斯方程

$$\begin{array}{c}{\mathrm{\nabla }}^{2}T=0\\ T(r,0)=T(r,\frac{\pi }{3})=0,{T|}_{r=0}\text{有界}\end{array}$$

我们直接把上一问的分离变量解抄过来

$$\sqrt{\alpha }=0:R(r)=E+F\ln r$$$$\begin{array}{c}\sqrt{\alpha }：\mathrm{\Theta }(\theta )=A\sin (\sqrt{\alpha }\theta )+B\cos (\sqrt{\alpha }\theta )\\ R(r)=C{r}^{\sqrt{\alpha }}+D{r}^{-\sqrt{\alpha }}\end{array}$$

带入边界条件

$$\mathrm{\Theta }(0)=\mathrm{\Theta }(\frac{\pi }{3})=0$$

得到

$$\begin{array}{c}\sqrt{\alpha }=3n(n\in \mathbb{Z})\\ B=0\end{array}$$

由 $r=0$ 时温度的有界性

$$E=F=D=0$$

所以解函数可以表示为

$$T(r,\theta )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\sin (3n\theta )r^{3n}$$

利用三角函数的正交性确定系数

$$\frac{\pi }{6}{A}_n{a}^{3n}={\int }_0^{\frac{\pi }{3}}f(\varphi )\sin (3n\varphi )\mathrm{d}\varphi$$$$A_n=\frac{6{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}f(\varphi )\sin (3n\varphi )\mathrm{d}\varphi }{\pi a^{3n}}$$

所以解函数可以表示为

$$T(r,\theta )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{6{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}f(\varphi )\sin (3n\varphi )\mathrm{d}\varphi }{\pi a^{3n}}{r}^{3n}\sin (3n\theta )$$

3.在圆形区域 $0\le r\le a$ 内求解

$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\nabla }}^{2}u=r^3\sin 2\theta \\ & u{\mid }_{r=a}=0\end{array}$$

此时方程的形式应该修改为

$$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r\frac{\partial }{\partial r}u)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial {\theta }^2}u+\frac{\partial }{\partial z^2}u=r^3\sin 2\theta$$

特解：容易猜出一个特解为

$$v(r,\theta )=\frac{r^5}{21}\sin 2\theta$$

所以齐次方程的边界条件修改为

$${w|}_{r=a}=-\frac{a^5}{21}\sin 2\theta$$

直接把1.中分离变量的结果抄过来，由边界处的情况容易得到仅有一项非0

$$\mathrm{\Theta }(\theta )=A\sin 2\theta$$$$R(r)=r^2$$

待定系数

$$\begin{array}{c}A{a}^2\sin 2\theta =-\frac{a^5}{21}\sin 2\theta \\ A=-\frac{a^3}{21}\end{array}$$

所以齐次方程的解为

$$w(r,\theta )=-\frac{a^3}{21}{r}^2\sin 2\theta$$

叠加得到

$$u(r,\theta )=\frac{1}{21}{r}^2(r^3-a^3)\sin 2\theta$$