数学物理方程 第4次作业

Chasse_neige

7.求解

$$\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial t}-\kappa \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0\\ {u|}_{x=0}=0,{u|}_{x=l}=A\sin \omega t\\ {u|}_{t=0}=0\end{array}$$

考虑解的分解

$$u(x,t)=w(x,t)+v(x,t)$$

其中 $v(x,t)$ 满足

$${v|}_{x=0}=0,{v|}_{x=l}=A\sin \omega t$$

带入特解

$$v(x,t)=A\frac{x}{l}\sin \omega t$$

所以 $w(x,t)$ 满足

$$\begin{array}{c}\frac{\partial w}{\partial t}-\kappa \frac{\partial w}{\partial x^2}=-\omega A\frac{x}{l}\cos \omega t\\ {w|}_{x=0}=0,{w|}_{x=l}=0\\ {w|}_{t=0}=0\end{array}$$

对于这个方程，我们直接使用特征函数展开。特征函数为

$$E_n=\sin (\frac{n\pi }{l}x)$$

右侧函数用特征函数展开的系数为

$$\begin{array}{c}{c}_n=\frac{2}{l}{\int }_0^l\omega A\frac{x}{l}\cos \omega t\sin {\omega }_{n}x\mathrm{d}x\\ =-\frac{2\omega A}{n\pi }\cos \omega t{\int }_0^{n\pi }\frac{x}{n\pi }\sin x\mathrm{d}x\\ =(-1{)}^n\frac{2\omega A}{n\pi }\cos \omega t\end{array}$$

所以微分方程化为

$$\frac{\partial w}{\partial t}-\kappa \frac{\partial w}{\partial x^2}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{2\omega A}{n\pi }\cos \omega t\sin {\omega }_{n}x$$

假设 $w_n(x,t)=(C_n\sin \omega t+D_n\cos \omega t)\sin {\omega }_{n}t$

待定系数得到

$$\begin{array}{c}{C}_n\omega +D_n\kappa {\omega }_n^2=(-1{)}^n\frac{2\omega A}{n\pi }\\ -D_n\omega +C_n\kappa {\omega }_n^2=0\end{array}$$

解得

$$\begin{array}{c}{C}_n=\frac{(-1{)}^{n}2{\omega }^{2}A}{n\pi ({\omega }^2+{\kappa }^2\frac{n^4{\pi }^4}{l^4})}\\ D_n=\frac{(-1{)}^{n}2\omega \kappa \frac{n^2{\pi }^2}{l^2}A}{n\pi ({\omega }^2+{\kappa }^2\frac{n^4{\pi }^4}{l^4})}\end{array}$$

这是特解，再根据初始条件确定该方程的通解

$$w(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n}2\omega A}{n\pi ({\omega }^2+{\kappa }^2\frac{n^4{\pi }^4}{l^4})}(\omega \sin \omega t+\kappa \frac{n^2{\pi }^2}{l^2}\cos \omega t)\sin (\frac{n\pi }{l}x)+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}_n{e}^{-\kappa {\omega }_n^{2}t}\sin \frac{n\pi }{l}x$$

带入 ${w|}_{t=0}=0$

所以 $D_n$ 满足

$$D_n=-\frac{(-1{)}^{n}2\omega A}{n\pi ({\omega }^2+{\kappa }^2\frac{n^4{\pi }^4}{l^4})}\kappa \frac{n^2{\pi }^2}{l^2}$$

所以原方程的解为

$$u(x,t)=\frac{x}{l}A\sin \omega t+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n}2\omega A}{n\pi ({\omega }^2+{\kappa }^2\frac{n^4{\pi }^4}{l^4})}(\omega \sin \omega t+\kappa \frac{n^2{\pi }^2}{l^2}\cos \omega t-\kappa \frac{n^2{\pi }^2}{l^2}{e}^{-\kappa \frac{n^2{\pi }^2}{l^2}t})\sin (\frac{n\pi }{l}x)$$

8.求解如下定解问题

$$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}+2\beta \frac{\partial u}{\partial x}-{\alpha }^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0\\ {u|}_{x=0}=0,{u|}_{x=l}=0\\ {u|}_{t=0}=\phi (x),{\frac{\partial u}{\partial t}|}_{t=0}=\psi (x)\end{array}$$

通过变量变换 $u(x,t)=e^{\frac{\beta }{{\alpha }^2}x}v(x,t)$ 简化方程

$$\frac{{\partial }^{2}v}{\partial t^2}-{\alpha }^2\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\beta }^2}{{\alpha }^2}v=0$$

边界条件为 $v(0,t)=0$, $v(l,t)=0$，初始条件变为 $v(x,0)=e^{-\frac{\beta }{{\alpha }^2}x}\phi (x)$, $\frac{\partial v}{\partial t}(x,0)=e^{-\frac{\beta }{{\alpha }^2}x}\psi (x)$

使用分离变量法求解 $v(x,t)$

$$v(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sin \frac{n\pi x}{l}(A_n\cos {\omega }_{n}t+B_n\sin {\omega }_{n}t)$$

其中 ${\omega }_n=\sqrt{{\alpha }^2{\left(\frac{n\pi }{l}\right)}^2+\frac{{\beta }^2}{{\alpha }^2}}$，系数 $A_n$ 和 $B_n$ 由初始条件确定

$$A_n=\frac{2}{l}{\int }_0^l{e}^{-\frac{\beta }{{\alpha }^2}x}\phi (x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx$$$$B_n=\frac{2}{l{\omega }_n}{\int }_0^l{e}^{-\frac{\beta }{{\alpha }^2}x}\psi (x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx$$

最终，原问题的解为：

$$u(x,t)=e^{\frac{\beta }{{\alpha }^2}x}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sin \frac{n\pi x}{l}(A_n\cos {\omega }_{n}t+B_n\sin {\omega }_{n}t)$$

其中 ${\omega }_n$, $A_n$, $B_n$ 如上所示

12.求解如下热传导问题的稳定解

$$\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial t}-\kappa \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0\\ u{\mid }_{x=0}=A\cos \omega t,u{\mid }_{x\to \mathrm{\infty }}\text{有界}\end{array}$$

齐次化边界条件，另 $u(x,t)=w(x,t)+v(x,t)$

引入 $v(x,t)=A\cos \omega t$，此时 $w(x,t)$ 满足

$$\frac{\partial w}{\partial t}-\kappa \frac{\partial w}{\partial x^2}=A\omega \sin \omega t$$

作时域上的FT

$$is\mathcal{W}(x,s)-\kappa \frac{\partial \mathcal{W}(x,s)}{\partial x^2}=-i\pi A\omega \delta (\omega -s)+i\pi A\omega \delta (\omega +s)$$

对于 $\omega \ne s$，齐次方程存在解

$$\mathcal{W}(x,s)=F(x)\delta (s-\omega )+G(x)\delta (s+\omega )$$

1. 对于 $s=\omega$

   $$i\omega F(x)-\kappa F^{″}(x)=-i\pi A\omega$$

   重写为：

   $$\begin{array}{}\text{(2)}& F^{″}(x)-\frac{i\omega }{\kappa }F(x)=\frac{i\pi A\omega }{\kappa }\end{array}$$

2. 对于 $s=-\omega$

   $$-i\omega G(x)-\kappa G^{″}(x)=i\pi A\omega$$

   重写为：

   $$\begin{array}{}\text{(3)}& G^{″}(x)+\frac{i\omega }{\kappa }G(x)=-\frac{i\pi A\omega }{\kappa }\end{array}$$

边界条件

$$F(0)=0,G(0)=0$$

同时，有界性条件要求 $F(x)$ 和 $G(x)$ 在 $x\to \mathrm{\infty }$ 时有界。

齐次解： $F(x)=C{e}^{-\sqrt{\frac{i\omega }{\kappa }}x}$，其中 $\sqrt{\frac{i\omega }{\kappa }}=\sqrt{\frac{\omega }{2\kappa }}(1+i)$，确保衰减。特解

$$0-\frac{i\omega }{\kappa }K=\frac{i\pi A\omega }{\kappa }⟹K=-\pi A$$

所以 $F(x)=C{e}^{-\sqrt{\frac{i\omega }{\kappa }}x}-\pi A$

利用 $F(0)=0$

$$C-\pi A=0⟹C=\pi A$$

所以

$$F(x)=\pi A(e^{-\sqrt{\frac{i\omega }{\kappa }}x}-1)$$

对于另一部分

特解：设 $G=L$，代入方程

$$0+\frac{i\omega }{\kappa }L=-\frac{i\pi A\omega }{\kappa }⟹L=-\pi A$$

所以 $G(x)=D{e}^{-\sqrt{-\frac{i\omega }{\kappa }}x}-\pi A$

利用 $G(0)=0$

$$D-\pi A=0⟹D=\pi A$$

所以

$$G(x)=\pi A(e^{-\sqrt{-\frac{i\omega }{\kappa }}x}-1)$$

逆傅里叶变换

$$w(x,t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathcal{W}(x,s)e^{ist}ds=\frac{1}{2\pi }[F(x)e^{i\omega t}+G(x)e^{-i\omega t}]$$

代入 $F(x)$ 和 $G(x)$

$$w(x,t)=\frac{1}{2\pi }[\pi A(e^{-\sqrt{\frac{i\omega }{\kappa }}x}-1)e^{i\omega t}+\pi A(e^{-\sqrt{-\frac{i\omega }{\kappa }}x}-1)e^{-i\omega t}]$$

简化

$$w(x,t)=\frac{A}{2}(e^{-\sqrt{\frac{i\omega }{\kappa }}x}-1)e^{i\omega t}+\frac{A}{2}(e^{-\sqrt{-\frac{i\omega }{\kappa }}x}-1)e^{-i\omega t}$$

将指数项写为实部形式

$$e^{-\sqrt{\frac{i\omega }{\kappa }}x}=e^{-\sqrt{\frac{\omega }{2\kappa }}x}{e}^{-i\sqrt{\frac{\omega }{2\kappa }}x},e^{-\sqrt{-\frac{i\omega }{\kappa }}x}=e^{-\sqrt{\frac{\omega }{2\kappa }}x}{e}^{i\sqrt{\frac{\omega }{2\kappa }}x}$$

所以

$$w(x,t)=\frac{A}{2}{e}^{-\sqrt{\frac{\omega }{2\kappa }}x}[e^{i(\omega t-\sqrt{\frac{\omega }{2\kappa }}x)}+e^{-i(\omega t-\sqrt{\frac{\omega }{2\kappa }}x)}]-\frac{A}{2}(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t})$$$$w(x,t)=A{e}^{-\sqrt{\frac{\omega }{2\kappa }}x}\cos (\omega t-\sqrt{\frac{\omega }{2\kappa }}x)-A\cos \omega t$$

由于 $u(x,t)=w(x,t)+v(x,t)=w(x,t)+A\cos \omega t$

$$u(x,t)=A{e}^{-\sqrt{\frac{\omega }{2\kappa }}x}\cos (\omega t-\sqrt{\frac{\omega }{2\kappa }}x)$$