分析力学 第1周作业

Chasse_neige

1.1 光滑半球形碗中的匀质棒

半径为 $R$ 的光滑半球形碗，固定在水平面上，一质量为 $m$ 的匀质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为 $c$ ，如图 1.4 所示。试用虚功原理给出棒的全长。

假设棒子全长为$L$，则质心位置可以表示为

$$\begin{array}{c}{x}_c=(c-\frac{L}{2})\cos \theta \\ y_c=(c-\frac{L}{2})\sin \theta \end{array}$$

其中 $\cos \theta =\frac{c}{2R}$

由虚功原理

$$\sum _i{\overrightarrow{F}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{r}}_i=0$$

所以 $\delta y_c=0$

约束可以用广义坐标 $\theta$ 表示为

$$\begin{array}{c}{x}_c=(2R\cos \theta -\frac{L}{2})\cos \theta \\ y_c=(2R\cos \theta -\frac{L}{2})\sin \theta \end{array}$$

虚位移

$$\begin{array}{c}\delta y_c=(2R\cos \theta -\frac{L}{2})\cos \theta \delta \theta -2R{\sin }^2\theta \delta \theta =0\\ 2R\cos (2\theta )=\frac{L}{2}\cos \theta =\frac{Lc}{4R}\end{array}$$

所以

$$\begin{array}{c}Lc=8R^2(2\frac{c^2}{4R^2}-1)\\ L=4c-\frac{8R^2}{c}\end{array}$$

1.3 竖直半圆钢丝上的两球

在一半径为 $R$ 的竖直半圆硬钢丝上 (两端点在水平线上), 穿有质量分别为 $P$ 和 $Q$ 的两个小球, 两球用长为 $2l$ 的不可伸长的轻绳相连, 如图 1.6 所示。不计摩擦力, 试用虚功原理求两球的平衡位置 (即绳和水平线所成夹角 $\alpha$ )。

假设两个小球的坐标分别为$(r\cos {\theta }_1,r\sin {\theta }_1),(r\cos {\theta }_2,r\sin {\theta }_2)$，则约束可以表示为

$$r\sin \frac{{\theta }_1-{\theta }_2}{2}=l$$

虚位移满足

$$\delta {\theta }_1=\delta {\theta }_2$$

由虚功原理

$$\sum _i{\overrightarrow{F}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{r}}_i=0$$

假设绳子张力为$T$，记 $\alpha =\frac{{\theta }_1+{\theta }_2}{2}-\frac{\pi }{2}$

则有

$$-Pgr\cos {\theta }_1\delta \theta -Qgr\cos {\theta }_2\delta \theta +Tr\cos \frac{{\theta }_1-{\theta }_2}{2}\delta \theta -Tr\cos \frac{{\theta }_1-{\theta }_2}{2}\delta \theta =0$$

所以

$$P\cos {\theta }_1+Q\cos {\theta }_2=0$$

即

$$\begin{array}{c}P(\cos \frac{{\theta }_1+{\theta }_2}{2}\cos \frac{{\theta }_1-{\theta }_2}{2}-\sin \frac{{\theta }_1+{\theta }_2}{2}\sin \frac{{\theta }_1-{\theta }_2}{2})\\ +Q(\cos \frac{{\theta }_1+{\theta }_2}{2}\cos \frac{{\theta }_1-{\theta }_2}{2}+\sin \frac{{\theta }_1+{\theta }_2}{2}\sin \frac{{\theta }_1-{\theta }_2}{2})=0\end{array}$$

带入 $\sin \frac{{\theta }_1-{\theta }_2}{2}=\frac{l}{r}$

$$\cos \frac{{\theta }_1+{\theta }_2}{2}(P+Q)\frac{\sqrt{r^2-l^2}}{r}=\sin \frac{{\theta }_1+{\theta }_2}{2}(P-Q)\frac{l}{r}$$

所以

$$\alpha =\frac{{\theta }_1+{\theta }_2}{2}-\frac{\pi }{2}=\arctan (\frac{P+Q}{P-Q}\sqrt{(\frac{r}{l}{)}^2-1})-\frac{\pi }{2}$$

1.5 光滑斜面上的小块

质量为 $M$, 倾角为 $\theta$ 的光滑斜面的底面放在光滑的水平面上, 有一质量为 $m$ 的小块从顶端沿此斜面滑下, 如图 1.8 所示。利用达朗贝尔原理,给出小块相对斜面的加速度。

假设大滑块质心的 $x$ 坐标为 $X_M$，小滑块质心相对大滑块质心的坐标为$x_m,y_m$

约束

$$y_m+\tan \theta x_m=C$$

虚位移满足

$$\begin{array}{c}\delta Y_M=0\\ -\tan \theta \delta x_m=\delta y_m\end{array}$$

根据达朗贝尔原理

$$-Mg\delta Y_M-mg\delta y_m=M\delta X_M{\ddot{X}}_M+m((\delta x_m+\delta X_M)({\ddot{x}}_m+{\ddot{X}}_M)+\delta y_m{\ddot{y}}_m)$$

即

$$mg\delta y_m+M\delta X_M{\ddot{X}}_M+m((\delta x_m+\delta X_M)({\ddot{x}}_m+{\ddot{X}}_M)+\delta y_m{\ddot{y}}_m)=0$$

所以

$$-mg\tan \theta \delta x_m+M{\ddot{X}}_M\delta X_M+m({\ddot{x}}_m+{\ddot{X}}_M)(\delta x_m+\delta X_M)+m{\tan }^2\theta {\ddot{x}}_m\delta x_m=0$$

整理得

$$\begin{array}{c}m{\ddot{x}}_m(1+{\tan }^2\theta )+m{\ddot{X}}_M=mg\tan \theta \\ M{\ddot{X}}_M+m({\ddot{x}}_m+{\ddot{X}}_M)=0\end{array}$$

解得

$${\ddot{x}}_m=\frac{(m+M)g\tan \theta }{M+(m+M){\tan }^2\theta }$$

所以小滑块相对斜面的加速度为

$$a_{relative}=\frac{{\ddot{x}}_m}{\cos \theta }=\frac{(m+M)g\tan \theta }{M\cos \theta +(m+M)\tan \theta \sin \theta }=\frac{(m+M)g\sin \theta }{M+m{\sin }^2\theta }$$

1.7 质点在圆锥面内的运动

设质量为 $m$ 的质点受重力作用，且被约束在半顶角为 $\alpha$ 的倒立圆锥面内运动，如图 1.10 所示。试以柱坐标中的 $r,\theta$ 为广义坐标，用达朗贝尔原理给出运动微分方程。

采用球坐标，设除了给出的两个坐标外的第三个角度为$\varphi$ ，则·约束为

$$\varphi =\alpha$$

球坐标下的速度表示为

$$\dot{\overrightarrow{r}}=\dot{r}{\overrightarrow{e}}_r+r\sin \alpha \dot{\theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }$$

加速度为

$$\ddot{\overrightarrow{r}}=(\ddot{r}-r{\sin }^2\alpha {\dot{\theta }}^2){\overrightarrow{e}}_r+(2\dot{r}\sin \alpha \dot{\theta }+r\sin \alpha \ddot{\theta }){\overrightarrow{e}}_{\theta }-r\sin \alpha \cos \alpha {\dot{\theta }}^2{\overrightarrow{e}}_{\varphi }$$

根据达朗贝尔原理

$$-mg\delta r\cos \alpha =m(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2{\sin }^2\alpha )\delta r+m(2\dot{r}\sin \alpha \dot{\theta }+r\sin \alpha \ddot{\theta })r\sin \alpha \delta \theta$$

所以运动微分方程为

$$\begin{array}{c}g\cos \alpha +\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2{\sin }^2\alpha =0\\ 2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta }=0\end{array}$$