分析力学 第10次作业

Chasse_neige

6.16 引入正则变量的好处是，坐标变量和共轭动量地位相同。对于一维谐振动系统，哈密顿量为

$$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{q}^2$$

1.若引入动量空间的拉格朗日量 $K(p,\dot{p},t)=L(q,\dot{q},t)-p\dot{q}-q\dot{p}$，求证其形式与 $L=L(\dot{q},q)$ 相同

$$L(\dot{q},q)=p\dot{q}-H=\frac{p^2}{2m}-\frac{1}{2}m{\omega }^2{q}^2$$

所以

$$K(p,\dot{p},t)=L(q,\dot{q},t)-\dot{p}q-q\dot{p}=\frac{p^2}{2m}-\frac{1}{2}m{\omega }^2{q}^2-\frac{p^2}{m}-q(-m{\omega }^{2}q)=\frac{{\dot{p}}^2}{2m{\omega }^2}-\frac{p^2}{2m}$$

有相同的形式。

2.证明动量空间的拉格朗日方程与坐标空间的形式相同

先得到坐标空间的运动方程

$$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}(m\dot{q})=-m{\omega }^{2}q\\ \ddot{q}=-{\omega }^{2}q\end{array}$$

再写出动量空间的拉格朗日方程

$$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}\frac{\partial }{\partial \dot{p}}K=\frac{\partial }{\partial p}K\\ \frac{\ddot{p}}{m{\omega }^2}=-\frac{p}{m}\\ \ddot{p}=-{\omega }^{2}p\end{array}$$

二者形式相同。

6.17 双摆，其中 $m_1=m_2$, $l_1=l_2$，做小角度近似，给出哈密顿量及循环积分。此时相轨迹在四维相空间的二维环上，如果时间足够长，相轨迹是否会遍历二维环？逐渐增加振幅，小角度近似慢慢失效，简单描述这个过程。

写出动能

$$\begin{array}{c}T=\frac{1}{2}m(l{\dot{\theta }}_1{)}^2+\frac{1}{2}m(l^2{\dot{\theta }}_1^2+l^2({\dot{\theta }}_1+{\dot{\theta }}_2{)}^2+2l^2{\dot{\theta }}_1({\dot{\theta }}_1+{\dot{\theta }}_2)\cos ({\theta }_2))\\ \approx \frac{1}{2}m{l}^2(5{\dot{\theta }}_1^2+{\dot{\theta }}_2^2+4{\dot{\theta }}_1{\dot{\theta }}_2)\end{array}$$

势能

$$\begin{array}{c}V=-mgl\cos {\theta }_1-mg(l\cos {\theta }_1+l\cos ({\theta }_1+{\theta }_2))\\ \approx \frac{1}{2}mgl(3{\theta }_1^2+{\theta }_2^2+2{\theta }_1{\theta }_2)\end{array}$$

所以

$$L\approx \frac{1}{2}m{l}^2(5{\dot{\theta }}_1^2+{\dot{\theta }}_2^2+4{\dot{\theta }}_1{\dot{\theta }}_2)-\frac{1}{2}mgl(3{\theta }_1^2+{\theta }_2^2+2{\theta }_1{\theta }_2)$$

得到

$$\begin{array}{c}{p}_{{\theta }_1}=m{l}^2(5{\dot{\theta }}_1+2{\dot{\theta }}_2)\\ p_{{\theta }_2}=m{l}^2({\dot{\theta }}_2+2{\dot{\theta }}_1)\end{array}$$

所以

$$\begin{array}{c}H=p_{{\theta }_1}\frac{p_{{\theta }_1}-2p_{{\theta }_2}}{m{l}^2}+p_{{\theta }_2}\frac{5p_{{\theta }_2}-2p_{{\theta }_1}}{m{l}^2}-\frac{p_{{\theta }_1}^2+5p_{{\theta }_2}^2-4p_{{\theta }_1}{p}_{{\theta }_2}}{2m{l}^2}+\frac{1}{2}mgl(3{\theta }_1^2+{\theta }_2^2+2{\theta }_1{\theta }_2)\\ =\frac{p_{{\theta }_1}^2+5p_{{\theta }_2}^2-4p_{{\theta }_1}{p}_{{\theta }_2}}{2m{l}^2}+\frac{1}{2}mgl(3{\theta }_1^2+{\theta }_2^2+2{\theta }_1{\theta }_2)\end{array}$$

循环积分

$$H=Const$$

正则方程

$$\begin{array}{c}\dot{p_{{\theta }_1}}=-mgl(3{\theta }_1+{\theta }_2)\\ \dot{p_{{\theta }_2}}=-mgl({\theta }_2+{\theta }_1)\end{array}$$

解得

$$\omega =\sqrt{(2\pm \sqrt{2})\frac{g}{l}}$$

由于 $\omega$ 是无理数，所以曲线在两个方向上并没有办法找到一个确定比值的周期，所以曲线可以遍历二维环。

逐渐增加振幅，小角度近似慢慢失效，此时相空间中原本的二维不变环面会变形，中间的洞变小，环面上的相轨迹之间出现裂隙，最终走向混沌。

7.1 一粒子质量 $m$，以加速度 $a$ 作匀加速直线运动，初始 $t=0$，位置和动量分别为 $x_0$，$p_0$，将位置和动量作为正则变量。 1.给出哈密顿量，并给出运动方程和守恒量；

$$L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+max$$$$p=m\dot{x}$$$$H=\frac{p^2}{2m}-max$$

运动方程

$$\frac{p}{m}=\dot{x}$$$$\dot{p}=ma$$

所以

$$\ddot{x}=a$$

守恒量

$$H=\frac{p^2}{2m}-max=\frac{p_0^2}{2m}-ma{x}_0$$

2.求 $t$ 时刻正则变量 $x$，$p$

直接积分得到

$$x(t)=x_0+\frac{p_0}{m}t+\frac{1}{2}a{t}^2$$$$p(t)=p_0+mat$$

3.给出第二种形式的正则变换生成函数 $F_2(x_0,p,t)$，由此证明 $x_0$，$p_0$ 到 $x$，$p$ 是正则变换

$$\begin{array}{c}\mathrm{d}{F}_2=p_0\mathrm{d}{x}_0+x\mathrm{d}p+(H-H_0)\mathrm{d}t\\ =(p-mat)\mathrm{d}{x}_0+(x_0+\frac{p-mat}{m}t+\frac{1}{2}a{t}^2)\mathrm{d}p+(\frac{p^2}{2m}-ma(x_0+\frac{p-mat}{m}t+\frac{1}{2}a{t}^2))\mathrm{d}t\end{array}$$

所以

$$F_2(x_0,p,t)=\frac{p^2}{2m}t+p{x}_0-mat{x}_0-\frac{1}{2}ap{t}^2+\frac{1}{6}m{a}^2{t}^3$$

所以$x_0$，$p_0$ 到 $x$，$p$ 是正则变换

4.利用泊松括号 $[x,p{]}_{x_0,p_0}$，证明 $x_0$，$p_0$ 到 $x$，$p$ 是正则变换

检验泊松括号

$${[x,p]}_{x_0,p_0}=\frac{\partial x}{\partial x_0}\frac{\partial p}{\partial p_0}-\frac{\partial x}{\partial p_0}\frac{\partial p}{\partial x_0}=1$$

所以$x_0$，$p_0$ 到 $x$，$p$ 是正则变换