分析力学 第11次作业

Chasse_neige

7.3 用两种方法证明以下变换是正则变换

$$Q=-p,P=q+\alpha p^2$$

其中，$\alpha$ 是适当的常量。

(1) 求得生成函数 计算得到

$$\mathrm{d}{F}_1=-Q\mathrm{d}q-(q+\alpha Q^2)\mathrm{d}Q$$

所以

$$F_1(q,Q)=-qQ-\frac{1}{3}\alpha Q^3$$

所以是正则变换

7.4 用两种方法证明以下变换是正则变换

$$Q=\arctan \left(\frac{\alpha q}{p}\right),P=\frac{\alpha q^2}{2}(1+\frac{p^2}{{\alpha }^2{q}^2})$$

其中 $\alpha$ 是适当的常量。

(1) 求得生成函数

计算得到

$${\mathrm{d}F}_1=\frac{\alpha q}{\tan Q}\mathrm{d}q-\frac{\alpha q^2}{2}(1+{\cot }^{2}Q)\mathrm{d}Q$$

所以

$$F_1(q,Q)=\frac{\alpha q^2}{2\tan Q}$$

所以是正则变换

7.5 用两种方法证明以下变换是正则变换

$$Q=\sqrt{2p}\sin q,P=\sqrt{2p}\cos q$$

(1) 求得生成函数

$${\mathrm{d}F}_1=\frac{Q^2+\frac{Q^2}{{\tan }^{2}q}}{2}\mathrm{d}q-\frac{Q}{\tan q}\mathrm{d}Q$$

所以

$$F_1(q,Q)=-\frac{Q^2}{2\tan q}$$

所以是正则变换

7.6 用两种方法证明以下变换是正则变换

$$\begin{array}{rlrl}{Q}_1& =q_1{q}_2,& P_1& =1-\frac{p_1-p_2}{q_1-q_2}\\ Q_2& =q_1+q_2,& P_2& =-q_1-q_2+\frac{q_1{p}_1-q_2{p}_2}{q_1-q_2}\end{array}$$

(1) 求得生成函数

$$\begin{array}{c}{\mathrm{d}F}_2=p_1{\mathrm{d}q}_1+p_2{\mathrm{d}q}_2+Q_1{\mathrm{d}P}_1+Q_2{\mathrm{d}P}_2\\ =(P_2+q_1+q_2{P}_1){\mathrm{d}q}_1+(P_2+q_2+q_1{P}_1){\mathrm{d}q}_2+q_1{q}_2{\mathrm{d}P}_1+(q_1+q_2){\mathrm{d}P}_2\end{array}$$

所以

$$F_2(q,P)=(q_1+q_2)P_2+\frac{q_1^2+q_2^2}{2}+q_1{q}_2{P}_1$$

所以是正则变换

7.7 用两种方法证明以下变换是正则变换

$$Q_i=q_i\cos {\theta }_i-p_i\sin {\theta }_i,P_i=q_i\sin {\theta }_i+p_i\cos {\theta }_i,i=1,2,3,\cdots ,s$$

其中 ${\theta }_i$ 是适当的常量，$s$ 是系统自由度个数。

(1) 求得生成函数

$${\mathrm{d}F}_1=\sum _i-\frac{Q_i-q_i\cos {\theta }_i}{\sin {\theta }_i}{\mathrm{d}q}_i-\frac{q_i-Q_i\cos {\theta }_i}{\sin {\theta }_i}{\mathrm{d}Q}_i$$

所以生成函数为

$$F_1(q_i,Q_i)=\sum _{i=1}^s\frac{-Q_i{q}_i+\frac{1}{2}(q_i^2+Q_i^2)\cos {\theta }_i}{\sin {\theta }_i}$$

所以是正则变换

7.8 有一质点质量为 $m$, 在中心力场 $V(r)$ 中运动, 柱坐标为 $(\rho ,\varphi ,z)$, 其拉格朗日量为

$$L=\frac{1}{2}m({\dot{\rho }}^2+{\rho }^2{\dot{\varphi }}^2+{\dot{z}}^2)-V(\sqrt{{\rho }^2+z^2})$$

另有一个转动坐标系, 绕 $z$ 轴以角速度 $\omega$ 转动。若 $t=0$ 时两个坐标系重合, 转动坐标系质点坐标为 $({\rho }^{\prime },{\varphi }^{\prime },z^{\prime })$。选择第二种正则变换生成函数 $F_2=\sum _{i=1}^3{p}_i^{\prime }{r}_i^{\prime }$ 形式，其中，$r_i^{\prime }$ 和 $p_i^{\prime }$ 分别为转动坐标系的广义坐标和广义动量分量。给出相应的哈密顿量及正则方程，并考查虚拟力的形式。

首先写出坐标变换关系

$$\begin{array}{c}{\rho }^{\prime }=\rho \\ {\varphi }^{\prime }=\varphi -\omega t\\ z^{\prime }=z\end{array}$$

利用旋转系内坐标重新表示拉格朗日量得到

$$L^{\prime }=\frac{1}{2}m({\dot{{\rho }^{\prime }}}^2+{\rho }^{\prime 2}(\dot{{\varphi }^{\prime }}+\omega {)}^2+{\dot{z^{\prime }}}^2)-V(\sqrt{{\rho }^{\prime 2}+z^{\prime 2}})$$

得到旋转系内的广义动量为

$$\begin{array}{c}{p}_{{\rho }^{\prime }}^{\prime }=m\dot{{\rho }^{\prime }}\\ p_{{\varphi }^{\prime }}^{\prime }=m{\rho }^{\prime 2}(\dot{{\varphi }^{\prime }}+\omega )\\ p_{z^{\prime }}^{\prime }=m\dot{z^{\prime }}\end{array}$$

所以第二种正则变换生成函数为

$$\begin{array}{c}{F}_2(q_i,P_i)=m(\dot{{\rho }^{\prime }}{\rho }^{\prime }+{\rho }^{\prime 2}(\dot{{\varphi }^{\prime }}+\omega ){\varphi }^{\prime }+\dot{z^{\prime }}{z}^{\prime })\\ =p_{{\rho }^{\prime }}^{\prime }\rho +p_{{\varphi }^{\prime }}^{\prime }(\varphi -\omega t)+p_{z^{\prime }}^{\prime }z\end{array}$$

利用

$${\mathrm{d}F}_2=\sum _i{p}_i{\mathrm{d}q}_i+Q_i{\mathrm{d}P}_i+(H^{\prime }-H)\mathrm{d}t$$

所以

$$H^{\prime }-H=-p_{{\varphi }^{\prime }}^{\prime }\omega$$

所以

$$\begin{array}{c}{H}^{\prime }=\frac{1}{2}m({\dot{\rho }}^2+{\rho }^2{\dot{\varphi }}^2+{\dot{z}}^2)+V(\sqrt{{\rho }^2+z^2})-p_{{\varphi }^{\prime }}^{\prime }\omega \\ =\frac{1}{2}{p}_{{\rho }^{\prime }}^{\prime }\dot{{\rho }^{\prime }}+\frac{1}{2}{p}_{{\varphi }^{\prime }}^{\prime }(\dot{{\varphi }^{\prime }}+\omega )+\frac{1}{2}{p}_{z^{\prime }}^{\prime }\dot{z^{\prime }}+V-p_{{\varphi }^{\prime }}^{\prime }\omega \\ =\frac{{p_{{\rho }^{\prime }}^{\prime }}^2}{2m}+\frac{p_{{\varphi }^{\prime }}^{\prime }(p_{{\varphi }^{\prime }}^{\prime }-2m\omega {\rho }^{\prime 2})}{2m{\rho }^{\prime 2}}+\frac{{p_{z^{\prime }}^{\prime }}^2}{2m}+V\end{array}$$

正则方程

$$\begin{array}{c}{\dot{p^{\prime }}}_{{\rho }^{\prime }}=-m\frac{\partial V}{\partial {\rho }^{\prime }}+\frac{{p_{{\varphi }^{\prime }}^{\prime }}^2}{m{\rho }^{\prime 3}}\\ {\dot{p^{\prime }}}_{{\varphi }^{\prime }}=-m\frac{\partial V}{\partial {\varphi }^{\prime }}\\ {\dot{p^{\prime }}}_{z^{\prime }}=-m\frac{\partial V}{\partial z^{\prime }}\end{array}$$

虚拟力，从运动方程中得到

$$\frac{{p_{{\varphi }^{\prime }}^{\prime }}^2}{m{\rho }^{\prime 3}}=m{\rho }^{\prime }(\dot{{\varphi }^{\prime }}+\omega {)}^2=m{\rho }^{\prime }{\omega }^2+m{\rho }^{\prime }{\dot{{\varphi }^{\prime }}}^2+2m{\rho }^{\prime }\dot{{\varphi }^{\prime }}\omega$$

所以惯性离心力为

$$m{\omega }^2{\rho }^{\prime }$$

科里奥利力的一个分量

$$2m{\rho }^{\prime }\dot{{\varphi }^{\prime }}\omega$$

再由角向的方程

$${\dot{p^{\prime }}}_{{\varphi }^{\prime }}=m{\rho }^{\prime 2}\ddot{{\varphi }^{\prime }}+2m{\rho }^{\prime }\dot{{\rho }^{\prime }}(\dot{{\varphi }^{\prime }}+\omega )$$

得到科里奥利力的另一个分量

$$2m\dot{{\rho }^{\prime }}\omega$$