分析力学 第4次作业

Chasse_neige

2.11 地球表面大气由于重力导致密度不均, 也因此造成光的折射率随高度变化。若气体分子数密度可以用 $n(y)$ 来表示, $y$ 是距地面的垂直高度, 则 $n(y)=n_0{\mathrm{e}}^{-\alpha y}$, $n_0$ 是地面上气体分子数密度, 而折射率为 $\sqrt{1+\beta n(y)}$, 为简化问题, 可以假设 $\alpha$ 、 $\beta$ 都是常量。由于大气厚度相比地球半径小很多, 可以忽略地面弧度, 只考虑高度变化。当太阳光线以某个人射角 $\theta$ 进入大气层后, 光线通过大气到达地面的轨迹可以通过光程极小来确定, 也就是使得积分值 ${\int }_{\mathrm{\infty }}^0\sqrt{1+\beta n(y)}\mathrm{d}s$ 极小, 这里 $\mathrm{d}s$ 是光线的长度。试利用泛函变分极值方法给出光线轨迹方程。

假设光线轨迹方程为 $x(y)$

代入折射率和高度的依赖关系，得到光程

$$S={\int }_{\mathrm{\infty }}^0\sqrt{1+\beta n_0{e}^{-\alpha y}}\sqrt{1+x^{\prime 2}}\mathrm{d}y$$

由泛函极值的变分关系得到

$$\delta S=0$$

所以轨迹函数满足EL方程

$$\frac{d}{dy}\left(\frac{\partial \sqrt{1+\beta n_0{e}^{-\alpha y}}\sqrt{1+x^{\prime 2}}}{\partial x^{\prime }}\right)=0$$

所以

$$\sqrt{1+\beta n_0{e}^{-\alpha y}}\frac{x^{\prime }}{\sqrt{1+x^{\prime 2}}}=Const$$

定义 $x^{\prime }=\tan \theta (y)$

$$\sin \theta (y)=\frac{C}{\sqrt{1+\beta n_0{e}^{-\alpha y}}}$$

利用“太阳光线以某个人射角 $\theta$ 进入大气层”的条件得到

$$C=\sin \theta$$

所以

$$\begin{array}{c}\frac{x^{\prime }}{\sqrt{1+x^{\prime 2}}}=\frac{\sin \theta }{\sqrt{1+\beta n_0{e}^{-\alpha y}}}\\ x^{\prime }=\sqrt{\frac{1}{{\cot }^2\theta +\frac{\beta n_0}{{\sin }^2\theta }{e}^{-\alpha y}}}\end{array}$$

积分得到

$$\begin{array}{c}x(y)={\int }_{\mathrm{\infty }}^y\sqrt{\frac{1}{{\cot }^2\theta +\frac{\beta n_0}{{\sin }^2\theta }{e}^{-\alpha y}}}\mathrm{d}y=\sin \theta {\int }_{\mathrm{\infty }}^y\sqrt{\frac{1}{{\cos }^2\theta +\beta n_0{e}^{-\alpha y}}}\mathrm{d}y\\ =\sin \theta {\int }_{{\cos }^2\theta }^{{\cos }^2\theta +\beta n_0{e}^{-\alpha y}}\sqrt{\frac{1}{u}}\mathrm{d}(-\frac{1}{\alpha }\ln (\frac{u-{\cos }^2\theta }{\beta n_o}))\\ =-\frac{\sin \theta }{\alpha }{\int }_{{\cos }^2\theta }^{{\cos }^2\theta +\beta n_0{e}^{-\alpha y}}\frac{\mathrm{d}u}{(u-{\cos }^2\theta )\sqrt{u}}=-\frac{2\sin \theta }{\alpha }{\int }_{\cos \theta }^{\sqrt{{\cos }^2\theta +\beta n_0{e}^{-\alpha y}}}\frac{\mathrm{d}x}{x^2-{\cos }^2\theta }\\ =-\frac{\tan \theta }{\alpha }{\int }_{\cos \theta }^{\sqrt{{\cos }^2\theta +\beta n_0{e}^{-\alpha y}}}\frac{\mathrm{d}x}{x-\cos \theta }-\frac{\mathrm{d}x}{x+\cos \theta }\\ =\frac{\tan \theta }{\alpha }\ln (\frac{\sqrt{{\cos }^2\theta +\beta n_0{e}^{-\alpha y}}+\cos \theta }{\sqrt{{\cos }^2\theta +\beta n_0{e}^{-\alpha y}}-\cos \theta })+C\end{array}$$

其中常数用来消除原点处 $y$ 坐标的发散

2.16 一带电粒子(质量为 $m$ 、电荷为 $e$ ) 在电磁场中的运动速度为 $\mathit{v}$, 其非相对论的拉格朗日量为

$$L=\frac{1}{2}m{\mathit{v}}^2-e\varphi +e\mathbf{A}\cdot \mathit{v}$$

其中 $\varphi$ 和 $\mathbf{A}$ 分别是电磁场的标量势和矢量势。试利用哈密顿原理给出粒子的运动微分方程。

$$\delta S=\delta \int (\frac{1}{2}m{\overrightarrow{v}}^2-e\varphi +e\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{v})\mathrm{d}t=0$$$$\delta \int (\frac{1}{2}m{\overrightarrow{v}}^2-e\varphi +e\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{v})\mathrm{d}t=\int \mathrm{d}t(m\overrightarrow{v}\cdot \delta \overrightarrow{v}+e\overrightarrow{A}\cdot \delta \overrightarrow{v}-e\delta \varphi +e\overrightarrow{v}\cdot \delta \overrightarrow{A})$$

现在把所有的变分通过分部积分等手段化为对坐标的变分

$$(m\overrightarrow{v}+e\overrightarrow{A})\cdot \delta \overrightarrow{v}=-(m\overrightarrow{a}+e\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}+e\mathrm{\nabla }\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{v})\cdot \delta \overrightarrow{r}$$$$e\delta \varphi =e\mathrm{\nabla }\varphi \cdot \delta \overrightarrow{r}$$$$e\overrightarrow{v}\cdot \delta \overrightarrow{A}=e\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla }\overrightarrow{A}\cdot \delta \overrightarrow{r}$$

所以

$$-(m\overrightarrow{a}+e\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}+e\mathrm{\nabla }\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{v})-e\mathrm{\nabla }\varphi +e\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla }\overrightarrow{A}=0$$

得到运动方程

$$m\overrightarrow{a}=-e(\mathrm{\nabla }\varphi +\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t})+e[\overrightarrow{v},\mathrm{\nabla }\overrightarrow{A}]=e(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})$$

3.1 一带电粒子 (质量 $m$ 、电荷 $e$ ) 以速度 $\mathit{v}$ 在匀强磁场中运动, 其拉格朗日量为

$$L=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+e\mathbf{A}\cdot \mathit{v}$$

其中 $\mathbf{A}$ 是矢势。试证明系统具有空间反射对称性。

证明

不失一般性，考虑对于 $x-y$ 平面的反射变换

$$R=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$

变换后的速度以及矢势变为

$$\overrightarrow{v^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{y}\\ -\dot{z}\end{array}\right)\overrightarrow{A^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}{A}_x\\ A_y\\ -A_z\end{array}\right)$$

反射变换下的拉氏量中

第一项

$$\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^{\prime 2}}{c^2}}}=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

第二项

$$e\overrightarrow{A^{\prime }}\cdot \overrightarrow{v^{\prime }}=e(A_x\dot{x}+A_y\dot{y}+A_z\dot{z})=e\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{v}$$

由于拉氏量在空间反射下保持不变，再看EL方程中

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial }{\partial \dot{x}},\frac{d}{dt}\frac{\partial }{\partial \dot{y}},\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y}$$

不变

$$-\frac{d}{dt}\frac{\partial }{\partial \dot{z}},-\frac{\partial }{\partial z}$$

中的负号相互抵消，所以运动方程也具有空间反射不变性，即系统是空间反射对称的。

3.2 一带电粒子 (质量 $m$ 、电荷 $e$ ) 在静电场中运动。利用其拉格朗日量的性质证明系统具有时间反演对称性。

证明

带电粒子的拉氏量为

$$L=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-e\varphi$$

在时间反演变换下

$$\overrightarrow{v^{\prime }}=-\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=-\overrightarrow{v}$$

由于是静电场，所以电势分布不会改变

时间变换下的拉氏量中

第一项

$$\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^{\prime 2}}{c^2}}}=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

第二项显然不变，所以拉氏量在时间反演下不变

注意EL方程中

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial }{\partial \dot{\overrightarrow{r}}}$$

中的两个负号相互抵消，而右侧对坐标的偏导数与时间无关，所以运动方程也不变

故系统具有时间反演对称性

3.3 试证一质点在有心力的作用下, 其运动轨迹一定是在一个平面内。

证明

拉格朗日量可以写为

$$L=\frac{1}{2}m{\dot{\overrightarrow{r}}}^2+\frac{GMm}{r}$$

利用无穷小转动变换下的对称性容易得到存在守恒量

$$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}$$

由于

$$\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\cdot (\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p})=0$$

所以运动轨迹一定在垂直于 $\overrightarrow{L}$ 的平面内