分析力学第13次作业

Chasse_neige

7.17 (1) 假设使下面变换在一阶近似下是正则变换

q = Q + a Q^{2} + 2 b Q P + c P^{2}

p = P + d Q^{2} + 2 e Q P + f P^{2}

找到小量 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ 应满足的条件。

利用 $[q, p] = 1$ ，所以

\begin{matrix} {[q, p]}_{Q P} = [Q + a Q^{2} + 2 b Q P + c P^{2}, P + d Q^{2} + 2 e Q P + f P^{2}] \\ = [Q, P] + a [Q^{2}, P] + 2 b [Q P, P] + c [P^{2}, P] + d [Q, Q^{2}] + 2 e [Q, Q P] + f [Q, P^{2}] \end{matrix}

所以在一阶近似下要求满足

a [Q^{2}, P] + 2 b [Q P, P] + c [P^{2}, P] + d [Q, Q^{2}] + 2 e [Q, Q P] + f [Q, P^{2}] = 0

\begin{matrix} 2 a Q + 2 b P + 2 e Q + 2 f P = 0 \\ (a + e) Q + (b + f) P = 0 \end{matrix}

即 $a = - e, b = - f$

(2) 含非谐振项从而稍微偏离谐振动的哈密顿量为

H = \frac{p^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} q^{2} + α q^{3}

其中， $α$ 是小量。通过（1）的正则变换，使新哈密顿量在二阶近似下不含非谐振项，即

H^{*} = \frac{P^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} Q^{2} + 二阶项

直接给出变换后哈密顿量的形式为

H^{*} = \frac{(P + d Q^{2} + 2 e Q P + f P^{2})^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} (Q + a Q^{2} + 2 b Q P + c P^{2})^{2} + α (Q + a Q^{2} + 2 b Q P + c P^{2})^{3}

展开后要哈密顿量没有三次方项

\frac{P}{m} (d Q^{2} + 2 e Q P + f P^{2}) + m ω^{2} Q (a Q^{2} + 2 b Q P + c P^{2}) + α Q^{3} = 0

所以

a = - \frac{α}{m ω^{2}}

e = \frac{α}{m ω^{2}}

c = - \frac{2 α}{m^{3} ω^{4}}

b = d = f = 0

(3) 利用新的正则变量求解，再通过正则变换，给出一阶近似下非谐振问题的解。

在新的正则变量下，正则方程的解为

\begin{matrix} P = - m ω Q_{0} \sin (ω t + ϕ) \\ Q = Q_{0} \cos (ω t + ϕ) \end{matrix}

逆变换回去得到

p = - m ω Q_{0} \sin (ω t + ϕ) - \frac{2 α Q_{0}^{2}}{ω} \cos (ω t + ϕ) \sin (ω t + ϕ)

q = Q_{0} \cos (ω t + ϕ) - \frac{α Q_{0}^{2}}{m ω^{2}} (1 + \sin^{2} (ω t + ϕ))

7.21 一维运动的质量 $m$ 的质点势能为

V = V_{0} \tan^{2} \frac{π q}{a}

其中 $V_{0}$ , $a$ 是大于零的常量。

(1) 假设作用量和角变量分别为 $I$ , $Ψ$ ，给出作用量 $I$ 的积分表示

先给出哈密顿量

H = \frac{p^{2}}{2 m} + V_{0} \tan^{2} \frac{π q}{a}

积分得到作用量

I = \frac{1}{2 π} \oint p d q = \frac{2}{π} \int_{0}^{q_{0}} \sqrt{2 m E - 2 m V_{0} \tan^{2} \frac{π q}{a}} d q

(2) 用能量 $E$ 表示振动频率 $ω$

\frac{1}{ω} = \frac{\sqrt{2 m}}{π} \int_{0}^{q_{0}} \frac{d q}{\sqrt{E - V_{0} \tan^{2} \frac{π q}{a}}}

所以

ω = \frac{π}{\sqrt{2 m}} \frac{1}{\int_{0}^{q_{0}} \frac{d q}{\sqrt{E - V_{0} \tan^{2} \frac{π q}{a}}}} = \frac{2 π}{a} \sqrt{\frac{E + V_{0}}{2 m}}

(3) 给出哈密顿-雅可比方程的第二种形式，并假设此时新的正则变量刚好为作用量和角变量 $I$ , $Ψ$ ，给出生成函数的积分形式

E = \frac{1}{2 m} {(\frac{d W}{d q})}^{2} + V_{0} \tan^{2} \frac{π q}{a}

\frac{d W}{d q} = \pm \sqrt{2 m E - 2 m V_{0} \tan^{2} \frac{π q}{a}}

所以

W (q, I) = \pm \int \sqrt{2 m E - 2 m V_{0} \tan^{2} \frac{π q}{a}} d q

(4) 给出角变量 $Ψ$ 与 $q$ 的关系

Ψ = \frac{\partial W (q, I)}{\partial I} = \frac{\partial W}{\partial E} \frac{d E}{d I} = \arcsin (\sqrt{1 + \frac{V_{0}}{E}} \sin \frac{π q}{a})

(5) 假设质点初始时刻在平衡位置，初速度 $v_{0}$ ，求解 $q (t)$

q (t) = \frac{a}{π} \arcsin (\frac{\sin (ω t + ϕ_{0})}{\sqrt{1 + \frac{V_{0}}{E}}})

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