分析力学 第9次作业

Chasse_neige

5.16 假设地球自转轴沿着对称轴方向，而与黄道面夹角 $\phi$ (白道面与黄道面的倾角 $5^{\circ }$ 多一点，可以近似认为在同一个面内)。由于地球是扁椭球，所受太阳引力与此倾角有关，从而产生力矩。假设地球与太阳距离为 $R$，相互作用势能为

$$V(\theta )=-G\frac{M_{\text{sun }}{M}_{\text{earth }}}{R}+G\frac{M_{\text{sun }}}{2R^3}(I_3-I_1)\left(\frac{1-3{\cos }^2\theta }{2}\right)$$

其中 $\theta =\frac{\pi }{2}-\phi$，而 $I_1,I_3$ 分别为椭球 (地球) 的长短轴主转动惯量。求地球自转轴进动角速度 (所需参数可以从网络查得)。

写出拉格朗日量为

$$L=K_{COM}+\frac{I_1}{2}({\dot{\theta }}^2+{\dot{\varphi }}^2{\sin }^2\theta )+\frac{I_3}{2}(\dot{\varphi }\cos \theta +\dot{\psi }{)}^2+\frac{G{M}_{sun}{M}_{earth}}{R}-G\frac{M_{sun}}{2R^3}(I_3-I_1)\left(\frac{1-3{\cos }^2\theta }{2}\right)$$

得到运动积分

$$p_{\varphi }=I_1{\sin }^2\theta \dot{\varphi }+I_3(\dot{\varphi }\cos \theta +\dot{\psi })\cos \theta$$$$p_{\psi }=I_3(\dot{\varphi }\cos \theta +\dot{\psi })$$$$E=K_{COM}+\frac{I_1}{2}({\dot{\theta }}^2+{\dot{\varphi }}^2{\sin }^2\theta )+\frac{I_3}{2}(\dot{\varphi }\cos \theta +\dot{\psi }{)}^2-\frac{G{M}_{sun}{M}_{earth}}{R}+G\frac{M_{sun}}{2R^3}(I_3-I_1)\left(\frac{1-3{\cos }^2\theta }{2}\right)$$

得到地轴的进动角速度为

$$\dot{\varphi }=\frac{p_{\psi }\cos \theta -p_{\varphi }}{I_1{\sin }^2\theta }$$

对于 $\theta$ 方向的运动方程给出

$$-I_3(\dot{\varphi }\cos \theta +\dot{\psi })\dot{\varphi }\sin \theta -G\frac{3M_{sun}}{2R^3}(I_3-I_1)\cos \theta \sin \theta =0$$

所以

$$\dot{\varphi }\approx \frac{3G{M}_{sun}}{2R^3}\frac{I_3-I_1}{I_3\dot{\psi }}\cos \theta$$

查资料得到

$$I_3=8.034\times {10}^{37}kg\cdot m^2$$$$I_1=8.014\times {10}^{37}kg\cdot m^2$$$$G=6.674\times {10}^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$$$$M_{\text{sun}}=1.989\times {10}^{30}\text{kg}$$$$R=1.496\times {10}^{11}\text{m}$$$$\dot{\psi }=7.292\times {10}^{-5}\text{rad/s}$$$$\theta \approx {23.5}^{\circ }$$

计算可得 $\dot{\varphi }\approx 7.78\times {10}^{-12}\text{rad/s}$，对应进动周期约 $2.56\times {10}^4$ 年。

5.17 通常刚体的主转动惯量各不相同，假设 $I_1<I_2<I_3$。求证：自由转动时，若开始沿主轴 $1$ 或 $3$，则转动是稳定的，而开始沿主轴 $2$，则转动不稳定。(提示：为了证明这个命题，可以假设刚体开始角速度沿某个主轴方向，但附加了一个小扰动 $\delta$，看这个扰动在以后的运动中是线性振动还是指数发散。)

证明：对于欧拉-潘索情形下的自由转动

$$I_1{\dot{\omega }}_1=(I_2-I_3){\omega }_2{\omega }_3,I_2{\dot{\omega }}_2=(I_3-I_1){\omega }_3{\omega }_1,I_3{\dot{\omega }}_3=(I_1-I_2){\omega }_1{\omega }_2$$

沿主轴1转动：设初始 ${\omega }_1=\mathrm{\Omega }+x$，${\omega }_2=y$，${\omega }_3=z$（$x,y,z$ 为小扰动）。线性化得：

$$\dot{y}=\frac{(I_3-I_1)\mathrm{\Omega }}{I_2}z,\dot{z}=\frac{(I_1-I_2)\mathrm{\Omega }}{I_3}y$$

特征值 ${\lambda }^2=\frac{(I_3-I_1)(I_1-I_2){\mathrm{\Omega }}^2}{I_2{I}_3}<0$，故稳定。

沿主轴3转动：设初始 ${\omega }_3=\mathrm{\Omega }+x$，${\omega }_1=y$，${\omega }_2=z$。线性化得：

$$\dot{y}=\frac{(I_2-I_3)\mathrm{\Omega }}{I_1}z,\dot{z}=\frac{(I_3-I_1)\mathrm{\Omega }}{I_2}y$$

特征值 ${\lambda }^2=\frac{(I_2-I_3)(I_3-I_1){\mathrm{\Omega }}^2}{I_1{I}_2}<0$，故稳定。

沿主轴2转动：设初始 ${\omega }_2=\mathrm{\Omega }+x$，${\omega }_1=y$，${\omega }_3=z$。线性化得：

$$\dot{y}=\frac{(I_2-I_3)\mathrm{\Omega }}{I_1}z,\dot{z}=\frac{(I_1-I_2)\mathrm{\Omega }}{I_3}y$$

特征值 ${\lambda }^2=\frac{(I_2-I_3)(I_1-I_2){\mathrm{\Omega }}^2}{I_1{I}_3}>0$，故在扰动下角速度会指数发散，不稳定。因此，沿主轴1或3转动稳定，沿主轴2转动不稳定。

6.7 有一小珠子质量为 $m$，串在光滑的硬丝线上，丝线是抛物线形状， $y=a^2{x}^2$，重力加速度与 $y$ 轴反向。现丝线绕 $y$ 轴以角速度 $\omega$ 匀速转动，以小珠子到 $y$ 轴的距离作为广义坐标，给出哈密顿量以及哈密顿方程。

丝线方程 $y=a^2{x}^2$，绕 $y$ 轴以角速度 $\omega$ 匀速转动，重力沿 $-y$ 方向。广义坐标取珠子到 $y$ 轴的距离 $x$。

珠子坐标（惯性系）：

$$X=x\cos \omega t,Y=a^2{x}^2,Z=x\sin \omega t$$

动能 $T=\frac{1}{2}m({\dot{X}}^2+{\dot{Y}}^2+{\dot{Z}}^2)$，势能 $V=mgY=mg{a}^2{x}^2$。

计算得拉格朗日量：

$$L=\frac{1}{2}m((1+4a^4{x}^2){\dot{x}}^2+{\omega }^2{x}^2)-mg{a}^2{x}^2$$

广义动量：

$$p=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m(1+4a^4{x}^2)\dot{x}$$

哈密顿量：

$$H=\frac{p^2}{2m(1+4a^4{x}^2)}+m(g{a}^2-\frac{{\omega }^2}{2})x^2$$

哈密顿方程：

$$\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m(1+4a^4{x}^2)},\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial x}=\frac{4a^{4}x{p}^2}{m(1+4a^4{x}^2{)}^2}-2m(g{a}^2-\frac{{\omega }^2}{2})x$$

6.11两质点质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$, 中间用劲度系数为 $k$ 、自然伸长为 $l$的弹簧相连，并放在光滑桌面上运动。给出哈密顿量及循环积分，并导出哈密顿方程。

引入质心坐标 $\mathbf{R}=\frac{(m_1{\mathbf{r}}_1+m_2{\mathbf{r}}_2)}{m_1+m_2}$ 和相对坐标 $\mathbf{r}={\mathbf{r}}_1-{\mathbf{r}}_2$

拉格朗日量

$$L=\frac{1}{2}M{\dot{\mathbf{R}}}^2+\frac{1}{2}\mu {\dot{\mathbf{r}}}^2-\frac{1}{2}k(r-l{)}^2$$

其中 $M=m_1+m_2$，$\mu =\frac{m_1{m}_2}{M}$，$r=|\mathbf{r}|$

广义动量

$$\mathbf{P}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{R}}}=M\dot{\mathbf{R}},\mathbf{p}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}=\mu \dot{\mathbf{r}}$$

哈密顿量

$$H=\frac{P^2}{2M}+\frac{p^2}{2\mu }+\frac{1}{2}k(r-l{)}^2$$

其中 $P^2=P_x^2+P_y^2$，$p^2=p_x^2+p_y^2$。

循环积分：由于 $H$ 不依赖于 $\mathbf{R}$，故 $\mathbf{P}$ 守恒（即质心动量守恒）。

哈密顿方程：

$$\dot{\mathbf{R}}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{P}}=\frac{\mathbf{P}}{M},\dot{\mathbf{P}}=-\frac{\partial H}{\partial \mathbf{R}}=0$$

假设 $\mathbf{r}=(x,y)$

$$\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p_x}=\frac{p_x}{\mu },\dot{y}=\frac{\partial H}{\partial p_y}=\frac{p_y}{\mu }$$$${\dot{p}}_x=-\frac{\partial H}{\partial x}=-k(1-\frac{l}{r})x,{\dot{p}}_y=-\frac{\partial H}{\partial y}=-k(1-\frac{l}{r})y$$

其中 $r=\sqrt{x^2+y^2}$

6.15 有一质点质量 $m$，在中心力场 $V(r)$ 中运动，其在球坐标中的拉格朗日量为

$$L=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2+r^2{\sin }^2\theta {\dot{\phi }}^2)-V(r)$$

(1) 给出 $(r,\theta ,\phi )$ 对应的共轭正则动量；

(2) 给出哈密顿量及循环积分；

(3) 给出正则方程。

拉格朗日量

$$L=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2+r^2{\sin }^2\theta {\dot{\phi }}^2)-V(r)$$

(1) 正则动量

$$p_r=\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m\dot{r},p_{\theta }=\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}=m{r}^2\dot{\theta },p_{\phi }=\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}=m{r}^2{\sin }^2\theta \dot{\phi }$$

(2) 哈密顿量

$$H=\frac{1}{2m}(p_r^2+\frac{p_{\theta }^2}{r^2}+\frac{p_{\phi }^2}{r^2{\sin }^2\theta })+V(r)$$

循环积分：由于 $L$ 不显含 $\phi$，故

$$p_{\phi }=m{r}^2{\sin }^2\theta \dot{\phi }$$

守恒

(3) 正则方程

$$\dot{r}=\frac{\partial H}{\partial p_r}=\frac{p_r}{m},{\dot{p}}_r=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{p_{\theta }^2}{m{r}^3}+\frac{p_{\phi }^2}{m{r}^3{\sin }^2\theta }-V^{\prime }(r)$$$$\dot{\theta }=\frac{\partial H}{\partial p_{\theta }}=\frac{p_{\theta }}{m{r}^2},{\dot{p}}_{\theta }=-\frac{\partial H}{\partial \theta }=\frac{p_{\phi }^2\cos \theta }{m{r}^2{\sin }^3\theta }$$$$\dot{\phi }=\frac{\partial H}{\partial p_{\phi }}=\frac{p_{\phi }}{m{r}^2{\sin }^2\theta },{\dot{p}}_{\phi }=-\frac{\partial H}{\partial \phi }=0$$