分析力学 第6周作业

Chasse_neige

3.4 已知一质点运动轨迹可以用平面极坐标表示为阿基米德螺线 $r=r_0\theta$，求作用在质点上的有心力。

由于角动量守恒，所以

$$\dot{\theta }{r}^2=\dot{\theta }{\theta }^2{r}_0^2=\frac{L}{m}$$

即

$$\begin{array}{c}{\theta }^2\mathrm{d}\theta =\frac{L}{m{r}_0^2}\mathrm{d}t\\ \theta (t)={\left(\frac{3L}{m{r}_0^2}t\right)}^{\frac{1}{3}}\end{array}$$

可以求出

$$\dot{\theta }=\frac{L}{m{r}_0^2{\theta }^2}$$$$\begin{array}{c}\dot{r}=r_0\dot{\theta }=\frac{L}{m{r}_0{\theta }^2}\\ \ddot{r}=-\frac{2L}{m{r}_0{\theta }^3}\dot{\theta }=-\frac{2L^2}{m^2{r}_0^3{\theta }^5}\end{array}$$

直接带入

$$F=m(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)=m(-\frac{2L^2{r}_0^2}{m^2{r}^5}-r\frac{L^2}{m^2{r}^4})=-\frac{L^2}{m}(\frac{1}{r^3}+\frac{2r_0^2}{r^5})$$

3.5 已知作用在一质点上的有心力是引力，且与距离的三次方成反比，求质点运动轨迹。

此时势函数可以写成

$$V(r)=-\frac{a}{r^2}$$

所以径向运动方程可以写成

$$m(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)=-\frac{2a}{r^3}$$

带入

$$\dot{\theta }=\frac{L}{m{r}^2}$$$$\ddot{r}-\frac{L^2}{m^2{r}^3}=-\frac{2a}{m{r}^3}$$

作代换

$$u=\frac{1}{r}$$

此时

$$\begin{array}{c}\dot{r}=-\frac{1}{u^2}\frac{du}{d\theta }\frac{L}{m}{u}^2=-\frac{L}{m}\frac{du}{d\theta }\\ \ddot{r}=-\frac{L^2}{m^2}\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{\theta }^2}{u}^2\end{array}$$

所以

$$-\frac{L^2}{m^2}\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{\theta }^2}{u}^2-\frac{L^2}{m^2}{u}^3=-\frac{2a}{m}{u}^3$$

即

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{\theta }^2}+(1-\frac{2ma}{L^2})u=0$$

分类讨论

当$\frac{2ma}{L^2}<1$ 时

$$u=A\cos (\sqrt{1-\frac{2ma}{L^2}}\theta +\varphi )$$

所以

$$r=\frac{1}{A\cos (\sqrt{1-\frac{2ma}{L^2}}\theta +\varphi )}$$

其中 $A$ 和 $\varphi$ 由初始条件决定

当 $\frac{2ma}{L^2}=1$ 时

$$u=A\theta +B$$

所以

$$r=\frac{1}{A\theta +B}$$

其中 $A$ 和 $B$ 由初始条件决定

当 $\frac{2ma}{L^2}>1$ 时

$$u=A{e}^{\sqrt{\frac{2ma}{L^2}-1}\theta }+B{e}^{-\sqrt{\frac{2ma}{L^2}-1}\theta }$$

所以

$$r=\frac{1}{u=A{e}^{\sqrt{\frac{2ma}{L^2}-1}\theta }+B{e}^{-\sqrt{\frac{2ma}{L^2}-1}\theta }}$$

其中 $A$ 和 $B$ 由初始条件决定

3.8 一质点受有心力 $F(r)=-\frac{km}{r^4}$ 作用。若质点在距力心 $2a$ 处，垂直于极轴以速率 $\sqrt{\frac{k}{12a^3}}$ 抛出, 求质点的轨道。

我们选取质点发射的坐标为 $\theta =0$

此时比奈方程的形式变为

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{\theta }^2}+u=\frac{k{m}^2}{L^2}{u}^2$$$$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\frac{d(\frac{du}{d\theta }{)}^2}{du}=\frac{k{m}^2}{L^2}{u}^2-u\\ {\left(\frac{du}{d\theta }\right)}^2=2{\int }_{\frac{1}{2a}}^u(\frac{k{m}^2}{L^2}{u}^2-u)\mathrm{d}u=\frac{2k{m}^2}{3L^2}(u^3-\frac{1}{8a^3})-(u^2-\frac{1}{4a^2})\end{array}$$

带入 $L=m\sqrt{\frac{k}{3a}}$, 整理得到

$$\begin{array}{c}{\left(\frac{du}{d\theta }\right)}^2=2a{u}^3-u^2\\ \frac{du}{d\theta }=u\sqrt{2au-1}\end{array}$$

积分

$${\int }_{\frac{1}{2a}}^u\frac{\mathrm{d}u}{u\sqrt{2au-1}}=\theta$$$$\begin{array}{c}{\int }_{\frac{1}{2a}}^u\frac{\mathrm{d}u}{u\sqrt{2au-1}}={\int }_0^{\sqrt{2au-1}}\frac{1}{2a}\frac{\mathrm{d}(x^2+1)}{\frac{1}{2a}(x^2+1)x}\\ =2{\int }_0^{\sqrt{2au-1}}\frac{\mathrm{d}x}{x^2+1}=2{\int }_0^{\arctan (\sqrt{2au-1})}\mathrm{d}\theta =2\arctan (\sqrt{2au-1})\end{array}$$

所以轨道方程为

$$\begin{array}{c}\sqrt{2au-1}=\tan (\frac{\theta }{2})\\ u(\theta )=\frac{1}{2a}(1+{\tan }^2(\frac{\theta }{2}))\end{array}$$

即

$$r(\theta )=2a{\cos }^2(\frac{\theta }{2})=a(1+\cos \theta )$$

3.12 一轻绳的一端系着质量为 $m$ 的质点，绳的另一端绕在一半径为 $a$ 的棒上，不考虑重力。开始拉紧的绳长 $s_0$, 在垂直于棒长的平面以初速 $v_0$ 绕棒转动, 并缠绕到棒上, 最终质点碰到棒上, 如图 3.8 所示。求花费的时间。

绳子张力不做功，所以质点速度始终为 $v_0$

所以

$$\frac{dr}{dt}=-\frac{a}{r}{v}_0$$$$\begin{array}{c}r\mathrm{d}r=-a{v}_0\mathrm{d}t\\ {\int }_{\sqrt{s_0^2+a^2}}^{a}r\mathrm{d}r=-{\int }_0^{t}a{v}_0\mathrm{d}t\\ \frac{s_0^2}{2}=a{v}_{0}t\end{array}$$

所以花费的时间为

$$\mathrm{\Delta }t=\frac{s_0^2}{2a{v}_0}$$

3.14 讨论一粒子在屏蔽势场 $V(r)=-\frac{k}{r}{\mathrm{e}}^{-r/a}$ 中沿圆轨道运动的稳定性条件,其中 $k>0,a>0$ 。

圆周运动的动力学方程满足

$$\begin{array}{c}m(\ddot{r}-r\frac{L^2}{m^2{r}^4})=F(r)\\ m\ddot{r}=F(r)+\frac{L^2}{m{r}^3}\end{array}$$

所以有效势能可以表示为

$$V_{eff}(r)=V(r)+\frac{L^2}{2m{r}^2}=-\frac{k}{r}{e}^{-\frac{r}{a}}+\frac{L^2}{2m{r}^2}$$

平衡位置

$$\frac{\partial V}{\partial r}=0$$$$\begin{array}{c}\frac{k}{r^2}{e}^{-\frac{r}{a}}+\frac{k}{ar}{e}^{-\frac{r}{a}}-\frac{L^2}{m{r}^3}=0\\ (r+\frac{r^2}{a})e^{-\frac{r}{a}}=\frac{L^2}{mk}\end{array}$$

判断稳定性

$$\frac{\partial V}{\partial r^2}=e^{-\frac{r}{a}}(-\frac{2k}{r^3}-\frac{2k}{a{r}^2}-\frac{k}{a^{2}r})+\frac{3L^2}{m{r}^4}=\frac{k}{r^4}(-(2r+\frac{2r^2}{a}+\frac{r^3}{a^2})e^{-\frac{r}{a}}+\frac{3L^2}{mk})$$

带入 $(r+\frac{r^2}{a})e^{-\frac{r}{a}}=\frac{L^2}{mk}$

$$\begin{array}{c}\frac{\partial V}{\partial r^2}=\frac{k}{r^4}(\frac{L^2}{mk}-\frac{r^3}{a^2}{e}^{-\frac{r}{a}})=\frac{k}{r^4}((r+\frac{r^2}{a}-\frac{r^3}{a^2})e^{-\frac{r}{a}})\\ =\frac{k}{r^3}{e}^{-\frac{r}{a}}(1+\frac{r}{a}-\frac{r^2}{a^2})\end{array}$$

另 $x=\frac{r}{a}$ ，则稳定性条件可以写为

$$1+x-x^2>0$$

即

$$0<x<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

所以当 $0<r<\frac{1+\sqrt{5}}{2}a$ 时粒子是稳定的